1．了解函数的零点与方程根的关系；

4．已知函数

⑴试求函数的零点；

⑵是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由．

答案：(1)函数的零点为；

(2)计算得，，

由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．

3．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_________________．

2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；

　例4：二次函数中实数、、满足，其中，求证：

(1))；

(2)方程在内恒有解．

分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：是区间 内的数，且，这就启发我们把区间 划分为(，)和(，)来处理．

[解](1)

，

由于是二次函数,故，又，所以，．

⑵ 由题意，得, ．

①当时，由(1)知

若，则，又,所以 在(，)内有解．

若，则

，又，所以在(,)内有解．

②当时同理可证．

点评：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．

(2)对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类显然是比较好．

追踪训练二

1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是　　　　　　　　 (B　 )　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．　　　 B．　

C．　 　　　D．

4． 已知二次函数和一次函数，其中，且，

(1)求证：两函数、的图象交于不同两点、；

(2)求线段在轴上投影长度的取值范围．

答案：(1)∵，，∴,．由 得，　　

因为．

所以两函数、的图象必交于不同的两点；

(2)设，，则 ．∵，，∴．

∴(，)．

3．不等式对一切实数都立，则的取值范围是.

2．已知，并且、是方程的两个根，则实数、、、的大小关系可能是( A )

A．　　B．

C．　D．

例4:已知，是方程

()的两个实根，求的最大值和最小值．

分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式．

[解]因为方程()有两个实根，所以

，解得

又，，

所以

．

而是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值．

点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数的单调性．

．

追踪训练二

1． 若方程在内恰有

一解，则的取值范围是( B )

A．　　　　 B．　　

C．　　 D．

例4: 已知函数，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：

(1)；　　 (2)；　 (3)．

[解]

(1)；

(2)；

(3)．

例5．集合与集合相同吗？请说明理由．

[解]不相等．集合是坐标平面内的一个点集，表示函数的图象；集合是一个数集，表示函数的值域．

思维点拨

利用二次函数的图象求函数值域，作图时必须抓住以下关键点：抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点；解决集合问题，首先必须弄清集合中的元素是什么．

追踪训练二

1．已知函数f(x)=

(1)画出函数图象；

(2)求f{f[f(－2)]}

(3)求当f(x)= －7时，x的值；

解：(1)图象略

(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1

f(－1)=( －1)²=1

f(1)=1

所以f{f[f(－2)]}=1

(3)因为f(x)= －7

所以2x+3=－7

所以x=－5