例1、下列集合M到P的对应f是映射的是(　　 )

A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f：M中数的平方

B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M中数的平方根

C.M=Z，P=Q，f:M中数的倒数。

D.M=R，P=R⁺，f:M中数的平方

[解]：

判定对应f:A→B是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，即集合A中的每一个元素在B中是否有象且唯一，若不是映射只要举一反例即可。

答案：选择A

5、函数f(x)=是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()=.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；

(3)解不等式f(t－1)+f(t)<0；

答案：(1)f(x)=　　　　　　　

(2)证明略　

(3)0<t<

4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=，则f(x)=________,g(x)=__________

答案：f(x)=，g(x)=

.

3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)，求a的取值范围。

答案：0<a<3

2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　 )

A.y=1+　　　　　　　　　　　　　 B.y=－(x+1)²

C.y=　　　　　　　　　　　　　　 D.y=x³

答案：D

例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围。

思维分析：要求m的取值范围，就要列关于m的不等式，由f(1－m)<f(m)且f(x)是偶函数知1－m与m的符号不能确定，由偶函数的性质可按1－m与m同号；1－m与m异号两种情况，列四个不等式组，计算非常繁琐，但考虑到偶函数f(x)=f(|x|)，可将问题转化为只考虑x>0时的情况，从而使问题简单化。

解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)<f(m)可得f(|1－m|)<f(|m|).

又x≥0时，f(x)是单调减函数，

所以。

解之得：－1≤m<.

追踪训练

1、函数f(x)=的值域是(　　 )

A.[，+∞)　　　　　　　 B.(－∞，]　　　　　　　　　　

C.(0,+∞)　　　　　　　　　　 D.[1,+ ∞)

答案：A

例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是(　　 )

A.4　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.0

D.不知解析式不能确定

思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x₁+x₂+x₃+x₄=0.

答案：C

例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。

思维分析：要求出y=的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.

解：设u=x²－2x－3，则y=.

因为u≥0，所以x²－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.

因为y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，

所以当x≥3时，y是x的增函数。

又当 x≤－1时，u是减函数，

所以当x≤－1时，y是x的减函数。

所以y=的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。

证明略

例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。

思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。

解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：

f(－x)= －f(x)，在R上任取x₁<x₂，

则x₂－x₁>0，

所以f(x₂) －f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f(x₂－x₁).

因为x₁<x₂，所以x₂－x₁>0。

又因为x>0时f(x)<0，

所以f(x₂－x₁)<0，即f(x₂)<f(x₁).

由定义可知f(x)在R上是减函数.

(2)因为f(x)在R上是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.

所以f(－3)最大，f(3)最小。

所以f(－3)= －f(3)=2

即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。

5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。

(1)求证；(2)求证：是偶函数。

解(1)令，则有

　 (2)令，则有

　 这说明是偶函数

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