2、求函数y=的单调区间.

答案：利用复合函数单调性的规律，容易得到函数y=的单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]。

例4、已知f(x)=(e^x－a)+ (e^－x－a)(a0)。

(1)　　 f(x)将表示成u= 的函数；

(2)　　 求f(x)的最小值

思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。

[解]：

(1)将f(x) 展开重新配方得，f(x)

=(e^x+e^－x)－2a(e^x+e^－x)+2a－2

令u= ，得f(x)=4u－4au+2 a－2(u)

(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a

所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a－1)。

　当a>2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a－2.

所以f(x)的最小值为

f(x)=

点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。

追踪训练

1、求下列函数定义域和值域.

(1)y=；

(2)y=

　答案：(1)定义域[-1，2]；

　[，1]。

(2)定义域{x│x-1}

值域{y│y>2,或0<y<2}

例3、已知函数f(x)=a^x(a>0，且a≠1)，根据图象判断[f(x₁)+f(x₂)]与f()的大小，并加以证明。

[解]：

由a>1及0<a<1两种情形的指数函数图象可以判断f()〈[f(x₁)+f(x₂)]。

证明如下：f(x₁)+f(x₂)-2 f()=+－2a=( a－a),由于，所以a－a.

所以( a－a)〉0.

所以f(x₁)+f(x₂)-2 f()>0

即

[f(x₁)+f(x₂)]> f()。

例2、求函数y=的单调区间。

[解]：

定义域是R。令，则。当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数。

综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是。

点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。

例1、求下列函数的定义域与值域。

(1)y=；

(2)y=；

(3)y=

思维分析：y=a的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。

[解]：

(1)令，得。解得x1，或x<－1。故定义域为

{x│x1，或x<－1}。由于，且，所以

，

故函数y=的值域为{y│y且y};

(2) 定义域为R；由于2x－x=－(x－1)+1,所以值域为[。

(3)令3，所以x.

所以定义域为[－，值域为[。

例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或(其中为常数)．已知4月份该产品的产量为万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．

　[解]

　(1)若选用二次函数,则可设为

　 由条件可得:

　 解得:

　 当时,(万件)

　 (2)若选用

　 　　解得

　 当时,(万件)

由(1)(2)可得选用较好.

追踪训练二

1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：)．

解：设新树苗的木材量为，

①若连续生长10年，木材量为

，

②生长5年重栽新树苗，木材量为

，

则．

∴，

生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．

例4: (1)求方程的近似解(精确到)；(2)求不等式的解集.

[解]方程可化为，

分别画出函数与函数的图象(1)由图象可以知道，方程的近似解为；(2)不等式的解集为.

点评:与指数函数有关的方程与不等式当用代数方法比较困难时，通常将它们拆成两个函数，通过观察函数的图象来求出结果.

追踪训练二

1．　 已知是定义在上的奇函数，且时，.

(1)　 求函数的解析式；(2)画出函数的图象；(3)写出函数单调区间及值域；(4)求使恒成立的实数的取值范围．

解：(1)∵，∴，

又当时，

，

∴.

(2)　 函数的图象为

(3)　 根据的图象知：的单调增区间为，；

值域为

.

(4)根据的图象知：使恒成立的实数的取值范围为．

例4: 求函数的定义域、值域、单调区间．

分析：原函数由函数与复合而成，求解时要统筹考虑．

[解]设，则，由于它们的定义域都是，所以函数的定义域为．

因为，

所以，又，

函数的值域为．

　 函数在是增函数，而在上是减函数，

所以设，则，

从而，即，

函数在是增函数，

同理：函数在是减函数，函数的增区间，

减区间是．

点评:形如的定义域与的定义域相同；求值域时要先确定的值域，再根据指数函数的性质确定的值域；

当时，与的单调性相同，

当时，与的单调性相反．

思维点拔：

(1)比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；(2)与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．

追踪训练二

1．求下列函数的定义域、值域：

(1) 　(2)

解：(1)　 ∴　

原函数的定义域是，

　　 令 则

　 ∴得，

所以，原函数的值域是．

(2)　 ∴　

原函数的定义域是，

　　 令　 则，

　　 在是增函数　　 ∴，

　　 所以，原函数的值域是．

3．设a>1，b>0，a^b+a^－b=2，则a^b－a^－b()

　或　

2．(　)