21.(2009北京理)(本小题共13分)

设函数

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的单调区间；

(Ⅲ)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

　 　　　　　　解析　　 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查

综合分析和解决问题的能力．

(Ⅰ),

曲线在点处的切线方程为.

(Ⅱ)由，得，

　　 若，则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

　　 若，则当时，，函数单调递增，

　 　当时，，函数单调递减，

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

20.(2009北京文)(本小题共14分)

设函数.

(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切，求的值；

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.

解析　　 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

(Ⅰ),

∵曲线在点处与直线相切，

∴

(Ⅱ)∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点.

当时，由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴此时是的极大值点，是的极小值点.

19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数 ．

　(I)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；

　(II)若函数在区间上不单调，求的取值范围．

解析　　 (Ⅰ)由题意得

　 又 ，解得，或

　　 (Ⅱ)函数在区间不单调，等价于

　　 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

　　 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有

　　 ，　 即：

　　 整理得：，解得

18.(2009全国卷Ⅰ理)本小题满分12分。(注意：在试题卷上作答无效)

设函数在两个极值点，且

(I)求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

(II)证明：

分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有

故有

　右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，(如果消会较繁琐)再利用的范围，并借助(I)中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

解析　　 　由题意有．．．．．．．．．．．．①

又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

消去可得．

又，且　 　

17.(2009宁夏海南卷文)曲线在点(0,1)处的切线方程为 　　　　　　　　。

答案　

解析　　 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即

15.(2009陕西卷理)设曲线在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为　　　　　　　　 . 　　

答案　　 -2

14.(2009福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.

答案　　

　解析　　 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，

所以。

13.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为　 　　. 　

解析　　 　考查导数的几何意义和计算能力。 　　

，又点P在第二象限内，点P的坐标为(-2，15)

答案　 : 　　　

[命题立意]:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

12.(2009江苏卷)函数的单调减区间为　 　　. 　　　

解析　　 　考查利用导数判断函数的单调性。

，

由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。