2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等

边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，

M为BC的中点

(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。

(Ⅰ) 证明 　以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意，可得

∴

∴

即,∴AM⊥PM . 　　　　

　(Ⅱ)解　 设，且平面PAM，则

　 即

∴ ，　　

取，得　　　　　　　　　　

取，显然平面ABCD， ∴

结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；　

(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则

=

即点D到平面PAM的距离为　　　　　　

2009年联考题

解答题

1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中

(1)求证：；

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)求到平面PAD的距离

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

(1)证明 　设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴

又， ∴　 ∴∴

∴ 　，　 即。

(2)解 　设平面PAD的法向量是，

∴ 　　取得，又平面的法向量是∴ 　， ∴。

(3)解　 　　∴到平面PAD的距离。

7.(2005江西)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

(1)证明：D₁E⊥A₁D；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x, y, z轴，建　　　　　　　 立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，

E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)

(1)证明 　

(2)解 　因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，

从而，

，

设平面ACD₁的法向量为，

则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

(3)解 　设平面D₁EC的法向量，

∴

由　 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为.

6.(2006广东卷)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直

径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，

AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B-AD-F的大小；

(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

解 　(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B-AD-F的平面角，

依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝45⁰.

即二面角B-AD-F的大小为45⁰.

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O(0，0，0)，A(0，，0)，B(，0，0),D(0，，8)，E(0，0，8)，F(0，，0)

所以，

.

设异面直线BD与EF所成角为，

则

直线BD与EF所成的角为

5. (2007福建理•18)如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有

棱长都为2，D为CC₁中点。

(Ⅰ)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小；

(Ⅲ)求点C到平面A₁BD的距离；

(Ⅰ)证明 　取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

(Ⅱ)解　 设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由(Ⅰ)知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

(Ⅲ)解 　由(Ⅱ)，为平面法向量，

．

点到平面的距离．

4. (2008福建18)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，

其中BC∥　 AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

(Ⅰ)求证：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小；

(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ)证明　 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解 　以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

(Ⅲ)解 　假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由，得

解y=-或y=(舍去)，

此时，所以存在点Q满足题意，此时.

3. (2008湖南17 )如图所示，四棱锥P-ABCD的底面

ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

　 (Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的

坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，

P(0，0，2),

(Ⅰ)证明　 因为，

平面PAB的一个法向量是，

所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)解　 　易知　

　　　 设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

　 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取

于是，

　 故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是

2. (2008安徽)如图，在四棱锥中，底面四边长

为1的菱形，, , ,为

的中点，为的中点

(Ⅰ)证明：直线；

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为

轴建立坐标系

,

(1)证明　

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)解　 设与所成的角为,

　 　, 与所成角的大小为.

(3)解　 设点B到平面OCD的距离为，

则为在向量上的投影的绝对值,

　　　 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

2009年高考题

2005-2008年高考题

解答题

1. (2008全国Ⅱ19)(本小题满分12分)

如图，正四棱柱中，，点在上且．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．依题设，．

，

．

(Ⅰ)证明　 因为，，

故，．

又，

所以平面．

(Ⅱ)解　 设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．

14.(本题满分14分)

如图，在直三棱柱中，,

,求二面角的大小。 　　

简答：