4．(2006江西卷)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S₂₀₀＝(　 )

A．100　　　　　　 B. 101　　　　　 C.200　　　　　　 D.201

解析　 依题意，a₁+a₂₀₀＝1，故选A

答案　 A

3.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于(　)

A．3　　　 　　　　 B．2　　 　 　C．1　　　 　　　　 D．

答案　 B

2.(2007福建)数列的前项和为，若，则等于(　)

A．1　 　　 　　B．　　 　　　　　　　 　C．　　 　　　　 　D．

答案　 B

1.(2008江西卷)在数列中，， ，则(　　 )

A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．

答案　 A

38.(2009重庆卷理)设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．

(Ⅰ)若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；

(Ⅱ)若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；　 　

解：(I)因是公比为d的等比数列，从而 由　 ，故

　解得或(舍去)。因此 　　　

　又　　 。解得

从而当时，

当时，由是公比为d的等比数列得

因此　　　

(II)由题意得

有①得　　　 ④

由①，②，③得，　　　　

故.　　　　　 ⑤

又，故有

.⑥

下面反证法证明：

若不然，设

若取即，则由⑥得，而由③得

得由②得而

④及⑥可推得()与题设矛盾

同理若P=2，3，4，5均可得()与题设矛盾,因此为6的倍数

由均值不等式得

由上面三组数内必有一组不相等(否则，从而与题设矛盾)，故等号不成立，从而

又，由④和⑥得

因此由⑤得

2005--2008年高考题

37.(2009年上海卷理)已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

(1)　　　　　 若，是否存在，有说明理由；　 　

(2)　　　　　 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

(3)　　　　　 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

[解法一](1)由，得，　　　　　　　　 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数，　

不存在、，使等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．5分

(2)若，即，　　　　　　　　　　　　 (*)

(ⅰ)若则。　

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。　　　　　　 ．．．．．．7分

(ⅱ)若，(*)式等号左边取极限得，(*)式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

[解法二]设　

则

(i)　　　　　　　　　 若d=0，则　

(ii)　　　　　　　 若(常数)即，则d=0，矛盾

综上所述，有，　　　 10分

(3)　

设.

，

.　　　　　　　 13分

取　　 15分

由二项展开式可得正整数M_1、M₂，使得(4-1)^2s+2=4M₁+1,

故当且仅当p=3^s,sN时，命题成立. 　　　

说明：第(3)题若学生从以下角度解题，可分别得部分分(即分步得分)

若p为偶数，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+p为偶数，但3^k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则a_m+1=b_k,即4m+5=3^k，

而3^k=(4-1)^k

=

当k为偶数时，存在m，使4m+5＝3^k成立　　　　　　　　　　　　 1分

当p=3时，则a_m+1+a_m+2+a_m+3=b_k,即3a_m+2-b_k,　

也即3(4m+9)=3^k,所以4m+9=3^k-1,4(m+1)+5=3^k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,　 4m+9=3^k成立　　　 2分

当p=5时，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+5=b_k,即5a_m+3=b_k

也即5(4m+13)=3^k,而3^k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

36.(2009四川卷理)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

(I)求数列的通项公式；

(II)记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

(III)设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：(Ⅰ)当时，

又

数列成等比数列，其首项，公比是

……………………………………..3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 　　　

　 =

　又

当

当

(Ⅲ)由(Ⅰ)知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

　　 >

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设

则

　<　　 　

当n为奇数时，设

则 　　　

<

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分

35.(2009天津卷理)已知等差数列{}的公差为d(d0)，等比数列{}的公比为q(q>1)。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n　　　

(I)　　　　　　　 若== 1，d=2，q=3，求 　的值；

(II)　　　　　 若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；　　

(Ⅲ)　 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ，　 　证明。

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。

(Ⅰ)解：由题设，可得

所以，　　　

(Ⅱ)证明：由题设可得则

　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

①　　　　　　　　　 式减去②式，得　　

①　　 式加上②式，得

　　 　　　　　　　　③

②　　 式两边同乘q，得

所以，

(Ⅲ)证明：　　

因为所以

(1)　　　 若，取i=n　　　

(2)　　　 若，取i满足且

由(1),(2)及题设知，且

①　　 当时，得

即，…，

又所以

因此

②　　 当同理可得，因此　　

综上，

34.(2009四川卷文)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(I)求数列与数列的通项公式；

(II)设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

(III)记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

解(I)当时，　 　　　　　　　　

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，　　　　　 …………………………………3分

(II)不存在正整数，使得成立。

证明：由(I)知　 　　　　　　　　　

∴当n为偶数时，设　 　　　　　　　　　　　　　　　

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有　 　　　　　　　

∴不存在正整数，使得成立。　　　 …………………………………8分

(III)由得　 　　　　　　　

又，　 　

当时，，

当时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………14分

33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：。　　

证明(1)由

由猜想：数列是递减数列

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=1时，已证命题成立　　 (2)假设当n=k时命题成立，即

易知，那么

=

即

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立

(2)当n=1时，，结论成立

当时，易知