31.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。

(I)求函数的解析式；

(II)设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

解析　　 (I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为　　 …………………………………4分

(II)因为

令

当函数有极值时，则，方程有实数解， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当时，有两个实数根

情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值；

　 …………………………………12分

30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) (注意：在试题卷上作答无效)

　　 在R上定义运算(b、c为实常数)。记，，.令.　 　

如果函数在处有极什,试确定b、c的值；

求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。

　　　　　　 解 　　　　　　　当得对称轴x=b位于区间之外　 　　

此时

由　　　　　　　　　

①若

于是

①若，则，

于是

综上，对任意的b、c都有

而当，时，在区间上的最大值 　　　

故对任意的b，c恒成立的k的最大值为　　　　　　　　　

28.(2009天津卷文)(本小题满分12分)

设函数

(Ⅰ)当曲线处的切线斜率

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值；

(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的

，恒成立，求m的取值范围。

答案　 (1)1(2)在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

解析　　 解析　　 当

所以曲线处的切线斜率为1. 　　　

(2)解析　　 ，令，得到

因为

当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极小值		极大值

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

(3)解析　　 由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得

因为

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 　　　

综上，m的取值范围是

[考点定位]本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

27.(2009江西卷理)(本小题满分12分)

设函数

(1)求函数的单调区间；　 　　　　　

(1)若，求不等式的解集．

解析　　 　(1), 由,得 .

因为 当时,； 当时,； 当时,；

所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .

(2)由　 ,

　得：.　

故：当 时, 解集是：；

当 时，解集是： ；

当 时, 解集是：. 　　　　　　

26.(2009江西卷文)(本小题满分12分)

设函数．　　　　　

(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．　　　　　

解析　　 (1) ,

　 因为,, 即 恒成立,

　 所以 , 得，即的最大值为

　 (2)　 因为 当时, ;当时, ;当时, ;

　 所以 当时,取极大值 ; 　　　　　　

　 当时,取极小值 ;

　 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.

25.(2009安徽卷文)(本小题满分14分)

　已知函数，a＞0，　 　　　　　　

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。

[思路]由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。

解析　　 (1)由于

令 　　　　　

①当,即时, 恒成立.

在(－∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.

②当,即时　 　　

由得或 　　　　　

或或

又由得

综上①当时, 在上都是增函数.

②当时, 在上是减函数, 　　　

在上都是增函数.

(2)当时,由(1)知在上是减函数.

在上是增函数.

又 　　　

函数在上的值域为 　　　　　

24.(2009安徽卷理)(本小题满分12分)

　 已知函数，讨论的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解析　　 的定义域是(0,+), 　　　

设,二次方程的判别式.

当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

①当,即时，仅对有,对其余的都有

,此时在上也是增函数。 　　　　

①　　 当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

	+	0	_	0	+
	单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

23.(2009广东卷理)(本小题满分14分)

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 　　　　　　

解析　　 (1)依题可设 ()，则；

　 又的图像与直线平行　 　　　

　 ， ，　

设，则 　　　

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，　 解得

当时，　 解得

　(2)由()，得　

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即

；

若，，

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解,　 ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或()时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

22.设函数，其中常数a>1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。　 　　

解析　　 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析　　 　(I) 　　　

　由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

　当时，，故在区间是增函数。

　 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

　(II)由(I)知，当时，在或处取得最小值。

由假设知　 　　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范围是(1，6)

22.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

　　　 已知函数,其中 　　　

(1)当满足什么条件时,取得极值?

(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,　 此时方程的根为

,,

所以 　　　

当时,

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

当时, 　　　

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值. 　　　

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

设,,

令得或(舍去), 　　　

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ;　　 当时, 　　　

[命题立意]:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.