6．这是一个计算机程序的操作说明：

(1)初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；

(2)n＝n+1(将当前n+1的值赋予新的n)

(3)x = x+2(将当前的x=2的值赋予新的x)

(4)y =2 y　 (将当前2y的值赋予新的y)

(5)z = z + x y(将当前z+xy的值赋予新的z)

(6)如果z>7000，则执行语句(7)，否则回语句(2)继续进行；

(7)打印n，z；

(8)程序终止．

由语句(7)打印出的数值为　　n=8，z=7682　．

7．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解析 (Ⅰ)设二次函数f (x)＝ax²+bx (a≠0)，则=2ax+b，又=6x－2，得a=3 ，　 b=－2， 所以　 f(x)＝3x²－2x．

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5．

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－)．

因此，要使(1－)<()恒成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．

[文]设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n..

(Ⅰ)若a₁₁=0,S₁₄=98,求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列{a_n}的通项公式. 解析：(Ⅰ)由S₁₄=98得2a₁+13d=14,　 又a₁₁=a₁+10d=0,故解得d=－2,a₁=20.

因此，{a_n}的通项公式是a_n=22－2n,n=1,2,3…

(Ⅱ)由得即

由①+②得－7d＜11。即d＞－.　 由①+③得13d≤－1，即d≤－.

于是－＜d≤－，　 又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a₁≤12.

又a₁∈Z, 故a₁=11或a₁=12.

所以，所有可能的数列{a_n}的通项公式是a_n=12-n和a_n=13-n,n=1,2,3,…

5．令a _n为的展开式中含xⁿ项的系数，则数列{a _n}的前n项和为__________．

4．三个数成等比数列，且，则的取值范围是( D　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　 (D)　　

3．设{a _n}为等差数列，a ₁>0 ，a ₆+ a ₇>0， a₆ a ₇<0，则使其前n项和S_n>0成立的最大自然数n是( B　 )

　(A)11　　　　 (B)12　　　　 (C)13　　　 　(D)14

2．(理)已知数列的值为( C　 )

(A)　　　 　 (B)　 　　　　 (C)1　 　　　　 (D)－2

(文)直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为( D　 )

(A)　　　 (B)　　 (C)　　 (D)

1．在等差数列中，，则(　 A )

(A)　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　 (D)-1或1

5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a_n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a_n}的四组量中：①S₁与S₂；　 ②a₂与S₃；　 ③a₁与a_n；　 ④q与a_n．

其中一定能成为该数列“基本量”的是第　 ①④ 　　组．(写出所有符合要求的组号)

6．设数列{a_n}的首项，且，记．

(I)求a₂，a₃；

(II)判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

(III)(理)求．

[专家解答]

(I)a₂＝a₁+= a+，a₃=a₂ =a+；

(II)∵ a₄ = a₃+=a+，　　 ∴ a₅=a₄=a+，

所以b₁=a₁－=a－， b₂=a₃－= (a－)， b₃=a₅－= (a－)，

猜想：{b_n}是公比为的等比数列．证明如下：

　　 因为b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－= (a_2n－1－)=b_n， (n∈N*)

　　 所以{b_n}是首项为a－， 公比为的等比数列·

(III)(理)．

★★★高考要考什么

[考点透视]

本专题主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．

[热点透析]

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查

间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

★★★突破重难点

[范例1]已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为S_n，S_k = 2550．

(Ⅰ) 求a及k的值；　 (Ⅱ) 求(…)．

解析(Ⅰ)设该等差数列为{a_n}，则a₁ = a，a₂ = 4，a₃ = 3a，S_k = 2550．

由已知得a+3a = 2×4，　　 解得a₁ = a = 2，公差d = a₂－a₁= 2．　　

　　 由得 ，解得 k = 50．

　　 ∴ a = 2，k = 50．

(Ⅱ)由得S_n= n (n+1)，

∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　，

∴ ．

[点睛]错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．

[文]是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．

解析 由已知得，　 即 ，

解得或　 　或

经验证 　或 均满足题意，即为所求．

[点睛]若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．

[范例2]已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁, a₃, a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n .

解析 　∵10S_n=a_n²+5a_n+6， 　　①　 　∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)， ②

　　 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0　

∵a_n+a_n－1>0　 ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

[点睛]求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：(1)已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；(2)已知S_n，求通项，破解方法：利用S_n-S_n-1= a_n，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；(3)已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

[文]已知等比数列的前项和为，且．

(1)求、的值及数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

解析 (1)当时，．

而为等比数列，得，即，从而．　

又．

(2)，

两式相减得，

因此，．

[范例3]下表给出一个“三角形数阵”：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …　 …　 …　 …

已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a_ij ( i≥j， i， j∈N^*)．

(1) 求a₈₃；

(2) 试写出a _ij关于i， j的表达式；

(3) 记第n行的和为A_n，求

解析 (1)由题知成等差数列，且，所以公差。

又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．

∴．　

(2)由(1)知，，∴．　

(3)．

[点睛]在新颖背景--数表中运用数列知识．

[文]在等比数列{a _n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列

　 　(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明

解析(1)逆命题：在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列，则 S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

　 (2)设{a_n}的首项为a₁，公比为q.　 　由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1

　 　∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m 　∵a₁≠0　 q≠0 ，∴2q²－q－1=0 ，　 ∴q=1或q=－

当q=1时，∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2，　　 　∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列

当q=－时， ，

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ，　　 ∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真

[点睛]逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．

[范例4]已知数列在直线x-y+1=0上．

(1)　　 求数列{a_n}的通项公式；

(2)若函数

求函数f (n)的最小值；

　　　　 (3)设表示数列{b_n}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　 解析 　(1)在直线x-y+1=0上　　

　　　　 (2) ，

　　　　　　　　　 ，

　　　　 ．

　　　　 (3)，

　　　　 　．

　　　　 　　　　　　 ……………………………………

　　　　　 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．　

[点睛]点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第(3)小题的探索性设问也是本题的升华．

[变式]设数列是等差数列，．

(Ⅰ)当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；

(Ⅱ)当时，若满足，

使得是等比数列，求数列的通项公式．

解析(Ⅰ)设公差为，则由，得

∵成等比数列，∴　 解得．故成等比数列．

(Ⅱ)，∴，故．

又是等比数列，

则，∴，

又，∴，∴

[点睛]等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容．

★★★自我提升

4．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于(　 C　 )

(A)　 　　(B)　 　　　　　(C) 　　　　　(D)

3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且

，．设()，则数列的前10项和等于(　C　)

(A)55　　　 (B)70　　　(C)85　　　(D)100

11．(理)A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为 ，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.

(1)求使P－p为最大的p值；

(2)求使N的期望值为最大的p值及期望值。

(1)要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。

解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为p³；

如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为

如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为

于是　　　

将 代入整理得

令

即

当 时， 又

　(2)随机变量N的概率分布为

则

　 而

　 这时，