2．欧拉公式

(1)通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。

(2)理解欧拉公式的拓扑证明。

(3)使用欧拉公式解决一些问题(如探索正多面体的个数)。

(4)探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。

3.晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不能详细证明晶体分类定理和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。

欧拉公式与闭曲面分类

使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。

内容与要求

2.对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实践过程中感受群的含义。

1.由于对称变换、变换的合成(乘法)运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。

14．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和群的概念的认识。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。(3)学习本专题的感受、体会。

说明与建议

13．考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。

12.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。

11.从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法──直积。

10．通过具体实例，了解一种群的表示方法──乘法表法。