6、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为(　　 )

A、1：3　　　　　 B、1：2　　　　　 C、1：　　　　　　 D、1：

5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为(　 )

A、1　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　 　　　　D、

4、若P是正四面体内一点，P到各面距离之和是一个定值，这个定值等于(　　 )

A、正四面体的棱长　　　　　　　　　　　　　 B、正四面体的斜高

C、正四面体相对棱间的距离　　　　　　　　　 D、正四面体的高

2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的(　　 )

垂心　 重心　 外心　　 内心

．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是(　 )

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是(　　 )

例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，,

(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：(1) 作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则， ，在与中， ＝＝(其中为与底面所成的角，设为) 故 。

(2)在 中，侧棱=，，

∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，

在中，斜高；

例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。(1)试确定点的位置，并证明你的结论；(2)求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；(3)求到平面的距离。

解：(1)为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面

与平面的交线，∵//平面

∴//，∴为的中点。

(2)过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，

由，得，∴

∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面

∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得

，∴

(3)过作，∵平面，∴，∴平面

即是到平面的距离，，∴

例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，

(1)求证：二面角是直二面角；

(2)求二面角的正切值；

(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．

证　 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．

由题设知是等腰直角三角形，且．∴　 　　．

∵　　 平面平面，∴　 平面 ，

∵　 　　　∴　 ，∴　 平面，

∵　 平面　 ，　 ∴平面平面，

即二面角是直二面角．

解　 (2)作，为垂足，则 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，则

由，得

　　　　　 ＝＝，

∴　 所求正切为＝．

(3) ∵　 　∴ 分别是的中点．

∴　　 ， ．

∵　 ＝＝，

　　　　　　 　．

∴　　 ，∴ 几何体的侧面积 　

4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为(　 )

A、1　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　　　　　 D、

2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的(　 　　)

垂心　 重心　 外心　　 内心

．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是(　 　)

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是(　 　)

棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)

ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等)；底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：(底面周长为，斜高为)

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：(侧面与底面成的二面角为)

附：　　 　　　　　　　以知⊥，，为二面角.

　　　　　　　　　　　 则①，②，③ ①②③得.

注：S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).

⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)

ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令

得，已知

则.

iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.