4．某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．

(1)求该盒产品被检验合格的概率；

(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

3．某公司“咨询热线”电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：

　 (1) 若这段时间内，公司只安排了2位接线员.(一个接线员一次只能接一个电话)

(I)求至少一路电话不能一次接通的概率;

(II) 在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；

(2) 求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数ξ的期望.

2．有两批产品，第一批20件，有5件一级品；第二批有12件，有2件一级品，今按两种抽样方法抽样：

　　　 (1)将两批产品混在一起，从中任取2件，求所抽两件均是一级品的概率；(21/496)

　　　 (2)从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件，试求所抽两件均是一级品的概率.(3/133)

1．热身题：

(1)某类电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏的概率是_____________. (0.104)

所用模型：

(2)发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”，由于通讯受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到信号“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“-”，同样，当发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“·”，

　　　 (I)收报台收到信号“·”的概率是_____________；(0.52)

　　　 (II)当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率是__________. (12/13)

所用模型：

(3)甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张1，2张2，甲乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是____________.(4/9)

所用模型：

(4)一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是. (I)他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率是_________；(4/27) (II)他在途中恰好遇到3次红灯的概率是__________.(160/729)

(III)他在途中遇到红灯数ξ的期望是_________，方差是____________. (2，4/3)

所用模型：

(5)两游客坐火车旅游，希望座位是连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码符合要求的是

　　　 A)48,49　　　　　　　 B)62,63　　　　 C)75,76　　　　　　　 D) 84,85

(6)已知每生产100克洗衣粉的原料和加工费为1.8元，某洗衣粉厂采用两种包装，其包装费及售价如右表所示，则下列说法中：

①买小包装实惠；②卖小包装盈利多；③买大包装实惠；

④卖1包大包装比卖3包小包装还要多盈利

所有正确的说法是

A)①②　　　　 B)②③　　　 C)③　 　　 　D)③④

(7)把一边长为a的木制正方体模型旋成一个尽可能大的球模型，则旋去部分的体积为________.

(9)某饭店有n间客房，客房的定价将影响住房率，每天客房的定价与每天的住房率的关系如下表：

要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为B

A．90元　　　B．80元　　　 C．70元　　　D．60元

(8)一张厚度为0.1mm的巨大的矩形纸，每次将纸沿对边中点连线剪开一起叠放，一共这样剪叠20次后所有纸的总厚度h₁与一座塔的高度h₂＝100m的大小关系为h₁__________h₂．

答以下解答题时，一定要注重格式

22．对于函数(a＞0)，如果方程有相异两根，．

　(1)若，且的图象关于直线x＝m对称．求证：；

　(2)若且，求b的取值范围；

　(3)、为区间，上的两个不同的点，求证：．

解：(1)，且a＞0．∵，所以，

即，于是

．　

(2)由方程，可知，∴、同号．

由，则，∴，∴，即4a+2b-1＜0 　①

又，∴，(∵a＞0)代入①式得：，解之得．　

(3)由条件得，，不妨设，

则

故．

21．如图，P为双曲线(a、b为正常数)上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若．

(1)求证：A、B两点的横坐标之积为常数；

　(2)求△AOB的面积(其中O为原点)．

解：(1)设A(，)、B(，)、P(，)．∵，

∴，．又，．∴．

从而．又∵P点在双曲线上．∴，

为常数．　

(2)又∠，则，

　，

20．如图，△ABC中，AC＝BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，F为BE的中点，

DF∥平面ABC，

(1)求CD的长；

解：取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，又AE和CD都垂直于

平面ABC，∴AE∥CD，∴FG∥CD，∴F、G、C、D四点共面．

又平面平面ABC＝CG，DF∥平面ABC，∴DF∥CG，

∴四边形FGCD是平行四边形，∴．　

(2)求证：AF⊥BD；

解：直角三角形ABE中，AE＝AB，F是BE的中点，∴AF⊥BE，又△ABC中，AC＝BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，∴AE⊥CG，又，∴CG⊥面ABE．

∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF，又∵，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD．

(3)求平面ADF与平面ABC所成的二面角的大小．

解：设面面ABC＝L，∵DF∥平面ABC，

∴DF∥L，又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，

∴L⊥AF，L⊥AB，∴∠FAB即为二面角的平面角．

直角三角形ABE中，易得∠FAB＝45°，

∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°

19．已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，试求这个新数列的前10项之和．

解：的公比为q，由题知：解得则，．

这个新数列的前10项之和为

18．设

(1)如果当时，恒有，求的值；

(2)且若的最大值为0,求的值。

解：(1)∵，∴，即，得

　 (2)

　　　 　∵，由， 得

　　　 再由 ，得 　。

17．在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边a，b，c成等比数列．

(1)求证：；(2)求函数的值域．

解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴，由余弦定理得：

又∵∠B(0，)，∴0＜∠B≤．　

(2)，∵0＜∠B≤，

∴，∴，即原函数的值域是(1，