(四)直线平面垂直的判定与性质定理

例4　 如图，△ABC为等腰三角形，其顶角A为钝角， D为底边BC的中点，DE、D F分别垂直于两腰AB和AC，沿DE和DF将△BDE和△CDF折起，恰好使得BD和CD重合，设B、C重 合于B′点，求证：AB′⊥面AEDF.

证明　 因DE⊥AB，

则 DE⊥B′E，AB∩B′E=E.

故 DE⊥面B′EA

又因 B′AB′EA

故 B′A⊥ED

同理，B′A⊥BF，则ED∩DF=D，

所以 B′A⊥面AEDF.

(三)直线与平面平行的判定与性质定理

例3　 直角△ABC的一条边AB∩α＝A，另一边BC不在平面α内，若∠ABC在 α上的射影仍是直角，求证BC∥α.

证明：如图，过B、C分别作α的垂线，垂足分别为B′、C′，则∠AB′C′是∠ABC在α上的射影.

∴∠AB′C′＝90°

又∵BB′⊥α，AB′α，B′C′α，

∴AB′⊥BB′，C′B′⊥BB′.

∵B′A∩BB′＝B′，

∴C′B′⊥平面AB′B.

∵B′C′∩B′B＝B′，

∴AB′⊥平面BB′C′C.

∵BC面BB′C′C，

∴BC⊥AB′.

∵∠ABC＝90°，AB∩AB′＝A，

∴BC⊥平面ABB′.

∴BC∥B′C′.

∴BC∥α.

(二)异面直线，两直线的位置关系，证明两直线异面、平行的一般方法

例2　 已知如图，a∥α,a∥β,α∥β,α∩β=b.求证：a∥b.

证明： 在α上任取一点A(Ab)，则a与点A确定了一个平面γ，γ∩α=c

因 a∥α,a?α,cα,

所以 a∥α,a?α,cα,

故 a∥c

同理，在β上任取一点B(Bb)，a与B确定了平面δ，δ∩β＝d，有a∥d

因 a∥c∥d,

则 cβ,dβ,

故 c∥β

又因 α∩β=b，

所以 c∥b,a∥b.

(一)平面的基本性质，证明直线共面的基本方

例1　 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，E、F、G、H分别是棱AB、BC、CC₁、C₁D₁的中点.

求证：HG、EF、DC交于一点.

证明：∵E、F、G、H是正方体的棱AB、BC、CC₁、C₁D₁的中点，

∴直线EF面ABCD　 直线HG面CC₁D₁D，且直线EFCD，EFCD.

∴EF与CD、HG与CD必分别相交.

设EF∩CD于P，HG∩CD于P′，

由平几知识有△EBF≌△PCF，△P′GC≌△HC₁G.

∴PC＝BE＝AB，P′C＝C₁H＝C₁D₁

而正方体中AB＝C₁D₁

∴PC＝P′C，即P与P′重合.

∴HG、EF、DC交于一点.

16.异面直线的距离

(1)定义　 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公 垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.

(2)求两条异面直线的距离常用的方法

①定义法　 根据题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定 理、性质求出公垂线段的长.

此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.

②转化法　 转化为以下两种形式：线面距离　 面面距离

③等体积法

④最值法

⑤射影法

⑥公式法

15.平行平面的距离

(1)定义　 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个 平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做 这两个平行平面的距离.

(2)求平行平面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距 离，通过解三角形或体积法求解之.

14.直线和平面的距离

(1)定义　 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和 平面的距离.

(2)求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.

13.空间的各种距离

点到平面的距离

(1)定义　 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离.

(2)求点面距离常用的方法：

1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段；

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线 的距离就是所求的点面距离.

3)体积法　 其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.

4)转化法　 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.

12.二面角及二面角的平面角

(1)半平面　 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角　 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.

②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角 的另一边(或其反向延长线)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定义法

(ii)垂面法

(iii)三垂线法

(Ⅳ)根据特殊图形的性质

(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.

②利用面积射影定理

S′=S·cosα

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.

③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.

11.直线和平面所成的角

(1)定义　 直线和平面所成的角有三种：

(i)斜线和平面所成的角　 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角　 一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)取值范围　　　 0°≤θ≤90°

(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.