1．试求常数a、b、c的值；

2．

∴

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当或时，，

∴函数在和上是增函数．

∴当和时，函数有极小值0，

当时，函数有极大值．

说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．

根据函数的极值确定参数的值

例　 已知在时取得极值，且．

1． ；2．

分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．

解：1．

令，解得，但也可能是极值点．

当或时，，

∴函数在和上是增函数；

当时，，

∴函数在(0，2)上是减函数．

∴当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值．

3．函数的定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在(－1，1)上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

例 　求下列函数的极值：

2．函数定义域为R．

令，得或．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在(0，2)上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值．

1．；2．；3．

分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是增函数；

当时，，

∴函数在(－2，2)上是减函数．

∴当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值

2．

两边都是关于x的可导函数，求导得

，

令，得，

即

说明：通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形式结构．学生易犯的错误是受思维定式的影响不善于联想．

2．

分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决．转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快．

解：1．当时，

当时，

，

两边都是关于x的函数，求导得

，

即

1．

4．，

∴

说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

根据点和切线确定抛物线的系数

例 　已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数a、b、c的值．

分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径．

解：∵曲线过点，

∴①

，∴

∴②

又曲线过点，∴③．

联立解①、②、③得

说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点在曲线上这一关键的隐含条件．

利用导数求和

例 　利用导数求和．