5.　　 现在是11点整，再过　　　 分钟，时针和分针第一次垂直。

4.　　 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是　　　 千克。

3.　　 七个连续质数，从大到小排列为a，b，c，d，e，f，g。已知它们的和是偶数，那么c=　　　 。

2.　　 某人乘车上班，因堵车，车速降低了20%，那么他在路上的时间增加了　　 %。

1.　　 一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是　　 。

　如果a更大，则分割后增加的顶点个数更多，不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。

　问题7 把△ABC滚到△A′B′C′的位置。求△ABC滚动过的面积(注：圆周率取3.14)。

　分析与解 画出△ABC滚动到△A′B′C′的位置时滚动的轨迹图，如下：

　△ABC滚动过的面积可分成三部分：第一部分是以R为圆心，三角形的直角边为半径的扇形①；第二部分即三角形ABC②；第三部分是以S为圆心，三角形的斜边为半径的扇形(③+④)。

　分别计算图中①、②、③、④部分的面积：

　由勾股定理可知：AC×AC=AB×AB+BC×BC=800。

　分割三角形svf(见上图)，易知分出的三个三角形都是直角三角形，△°×2+□°=180°。

　由于

　△ABC滚动过的面积是1142cm²。

　由于连结一个多边形的两顶点时，将一个多边形分成两个多边形后，顶点的数目不变，而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时，顶点数目增多1个，而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时，顶点数目增多2个，而边数比原来增多4条。要增多(15－12=)3个顶点，增多13条边，有两种连线方法。(见下图)

　显然原多边形是12边形，两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。

　也可以把6×10的长方形沿点线分割成其他多边形(见图6)。　

　问题4 下图三角形ABC是等腰三角形。AB＝AC，∠BAC＝120°。

　三角形ADE是正三角形，点D在BC边上，BD∶DC＝2∶3。

　当三角形ABC的面积是50cm²时，三角形ADE的面积是多少？

　分析与解 以点A为中心，由三个三角形ABC可拼成右图：

　连结QE、RF、GD，则DEQFRG是一个正六边形。连结RD、DQ、RQ，显然RDQ是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半。

　S_△PBC=S_△ABC×3=150cm²，

　S_△RDQ=S_△PBC-S_△DQC×3=42cm²，

　S_△ADE=S_{△正六边形}÷6=2×S_△RDQ÷6=14cm²。

　问题5 有一只表分不清长针和短针了，多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间。但有时也会出现两种情况，使你判断不出正确的时间。请问从中午12点到夜里12点这段时间会遇到多少次判断不出的情况？(注：不包括中午12点和夜里12点)

　分析与解 当表在某点某分时，经过一段时间后，如果时针恰好走到原来分针的位置，而分针恰好走到原来时针的位置，即两针位置互换，由于分针、时针分辨不清，所以凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间(如下图)。

　两针位置互换，当时针、分针共走60格时，由于时针走1格，分针走

午12点多至1点多，1点多至2点多，2点多至3点多……夜里10点多至11点多，共11次。

　同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正确时间的次数共有(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)×2=132次。

　注：题目只要求我们算出分辨不清时间的次数，所以没有必要算出具体的时间。

　问题6 把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：①原来的多边形是几边形？②把原来的多边形分割成了多少个多边形？

　分析与解 先来观察下面这组图形：

　容易看出，n边形有n个顶点，n边形是由(n－2)个三角形组成的。因此，知道了一个多边形的边数或顶点数(n)，就可以求出它的内角和(n－2)×180°，知道了一个多边形由多少个三角形(m)组成的，就可以求出它的边数或顶点数(m+2)。

　设原多边形是由a个三角形组成的，分割后的多边形共由b个三角形组成，a和b都是整数，根据题意有：

1.3×a×180°＝b×180°，于是有1.3a=b。

　由于b是整数，所以1.3a也是整数，a必是10的倍数，于是1.3a是13的倍数，b也是13的倍数。

　(l)最小的长方形是1×1，与它相似的长方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6。

　可以分割出6×6的长方形(见图1)。

　不能分割出5×5的长方形(见图2)，因为不论把5 × 5的长方形放在6 × 10的长方形中的哪一位置，在这个5×5的长方形的上边(或下边)的5个小正方形，只能分割成5块1×1的长方形，这显然不合题意。

　分割出的长方形中最大的不可能是4×4或更小的。因为(4 × 4)× 4= 64＞ 6 × 10，(4 × 4) × 3+(3 × 3)×1=57＜ 6 × 10。

　(2)最小的长方形是1×2，与其相似的长方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。

　不能分割出5×10的长方形(分析同(1)中 5×5)。

　也不能分割出4×8的长方形(见图3)，因为6×10-(4 × 8) ×1=32，(2 × 4)×3= 24＜32。

　还不能分割出3×6的长方形。不能分出4个3×6的长方形，因为(3 × 6)× 4=72＞ 6 × 10。不能分出3个3×6的长方形，因为6×10-(3×6)×3=6， 1×2=2＜ 6，2 × 4 = 8＞6。不能分出2个3×6的长方形，因为60-(3×6)×2=24，(2×4)×2=16＜24，也不能分出1个 3×6的长方形，因为(3×6)×l+(2×4)×3=42＜60。

　更不能分割出2×4或回1×2的长方形，因为(2×4) × 4=32＜ 6×10。

　(3)最小的长方形是1×3，与其相似的长方形有2×6，3×9。

　可以分割出3×9的长方形(见图4)。

　不能分割出2×6的长方形，因为(2×6)×4=48＜ 6×10。

　(4)最小的长方形是1×4，与其相似的长方形有2×8，这样的两个长方形都不能分割出来。因为(2×8)×4=64＞6×10，(2×8)×3+(1×4)×1=52＜6×10。

　(5)最小的长方形是1×5，与其相似的长方形有2×10，这样的两个长方形都不能分割出来。因为(2 ×10)×3=6×10，(2×10)×2+(1×5)×2=50＜ 6×10。

　(6)同样可以证明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10这些长方形。

30. 下圖所示之立體, 是將一個長 30 cm, 寬 20 cm, 高 15 cm 的長方體, 在其上面正中央挖去半徑為 3 cm 的半圓柱, 並在其右側邊緣挖去半徑為 2 cm 的四分之一圓柱. 請問此立體之體積為多少立方公分 ？ (圓周率取 3.14)

ANS: 8654.6 cm³　 (30×20×15–×3.14×3²×20–×3.14×2²×20=8654.6)