题目列表(包括答案和解析)
2．若a 是第四象限角，则p －a 是 ( )．
(A)第一象限角 (B)第二象限角
(C)第三象限角 (D)第四象限角
[提示]由a 是第四象限角，得－a 为第一象限角，p+(－a)为第三象限角．
[答案](C)．
[点评]本题考查象限角之间的关系．
1．在下列各角中，第三象限角是( )．
(A)－540° (B)－150°
(C)－225° (D)510°
[提示]第三象限角a 满足180°+k ·360°＜a ＜270°+k·360°，k∈Z．
[答案](B)．
[点评]
本题考查终边相同的角的概念．与－540°终边相同的角为180°，为轴线角，故排除(A)；与－225°终边相同的角为135°，为第二象限角，故排除(C)；与510°终边相同的角为150°，也是第二象限角，排除(D)．
5．记函数f (x) ＝1－2a－2acos x－2 sin2 x的最小值为f(a)．
(1)写出函数f(a)的表达式；
(2)若f(a)＝
，求这时函数f(a)的最大值．
[提示]
化简函数式，得f (x) ＝
，由| cos x | 
1，利用二次函数的图象性质，应分情况讨论．
[答案]
(1)∵ f (x) ＝1－2a－2a cos x－2 sin2 x
＝1－2a－2a cos x－2(1－cos2 x)
＝2 cos2 x－2a cos x－2a－1
＝．
又 | cos x| 1，
①当－1
1，即－2a2时，取cos x＝，f(a)＝
；
②当＞1，即a＞2时，取cos x＝1，f(a)＝
＝1－4a；
③当＜－1，即a＜－2 时，即cos x＝－1，f(a)＝
＝1．
综上，有 f(a)＝
．
(2)若f(a)＝，显然a
－2．
①当－2a2时，＝，即a2 +4a+3＝0，a＝－1或a＝－3(舍去)，
②当a＞2时，1－4a＝，即a＝
(舍去)．
于是，满足f(a)＝，a＝－1，此时，f(x)＝
，当cos a ＝1时，
f max(x)＝
＝5．
[点评]
本题综合二次函数的图象性质，考查与三角函数有关的函数最大(小)值的问题，考查灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法．
4．已知sin 2a ＝
，(－
＜a
＜p )，函数f (x)＝sin(a
－
x)－sin(a +x)+2 cos a 有最大值0 ，求当x为何值时，f (x)有最小值？最小值是多少？
[提示]
化简函数式，得f (x)＝2 cos a(1－sin x)．根据题意，计算出cos a 的值，再利用
| sin x | 1，就可以求出f (x)的最小值．
[答案]
∵ f (x)＝sin(a －x)－sin(a +x)+2 cos a
＝sin a cos x－cos a sin x－sin a cos x－cos a sin x+2 cos a
＝2 cos a －2 cos a sin x
＝2 cos a(1－sin x)
又f (x)≤0，
∴ 2 cos a(1－sin x)≤0，
而1－sin x≥0，
∴ cos a ＜0，
∵ －＜a
＜p ，
于是－＜a
＜－
或＜a
＜p，－
＜2a ＜－p，或p ＜2a
＜2p ．
又sin 2a ＝＞0，
∴ －＜2a ＜－p，且cos 2a ＝－
．
也就是2 cos 2 a ＝－，即cos a ＝－
．
∴ f (x) ＝－
，
当sin x＝－1时，即x＝2 kp－(k
Z)时，f (x)有最小值－
．
[点评]
本题综合考查三角函数的基础知识(两角和差的正弦公式、同角三角函数关系、二倍角公式、函数的最值等)以及运算能力．
3．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C＝2B，且
＝
，
求
的值．
[提示]由题设A+C＝2B，可得B＝60°，考虑把当作未知数，通过三角函数式的恒等变形，得到关于的一元二次方程解出即可．
[答案]
∵ 在△ABC中，A+C＝2B，
∴ B＝60°，A+C＝120°，
令
＝q
，
则由
得 
于是，
＝
＝
＝
＝
又 －＝－
＝－
．
∵ ＝－，
∴ ＝－，
即
＝0 ，
＝0，
∵ 
0，
∴ 
＝0，cos q
＝
，
所以，＝．
[点评]
本题综合考查三角函数的基础知识，考查灵活运用三角公式进行恒等变形运算的能力．
2．已知0＜b
＜
，＜a
＜，cos(－a
)＝，sin(+b
)＝
，
求sin(a +b )的值．
[提示]
用已知角表示所求角，注意到(+b
)－(－a
)＝+(a
+b )，
于是sin(a +b
)＝－cos[+(a
+b )]＝－cos[(+b
)－(－a
)]，
只要求出sin(－a
)，cos(+b
)就可以了．
[答案]
∵ 0＜b
＜，＜a
＜，
∴ －＜－a
＜0，＜+b
＜p．
由cos(－a
)＝，得sin(－a
)＝－．
由sin(+b
)＝，得cos(+b
)＝－
．
∴ sin(a
+b )＝－cos[+(a
+b )]
＝－cos[(+b
)－(
－a
)]
＝－ cos(+b
)cos(－a
)－sin(+b
)sin(－a
)
＝―(―)×―×(―)
＝
[点评]本题考查同角三角函数关系，诱导公式、两角差的余弦公式的灵活运用，考查计算推理能力以及变换的思想．
1．求值
．
[提示]“切化弦”后，利用三角函数基础知识，可解．
[答案]
原式＝
＝ 
＝
＝
＝－
[点评]本题考查灵活运用同角三角函数关系、两角差的正弦、二倍角公式及运算能力．
5．函数y＝
是减函数的区间为__________．
[提示]由y＝＝
＝1+
．
利用对数函数的定义域，知sin 2x＞0，得x∈(kp ，kp+)(k∈Z)．又y＝sin 2x的递增区间为[－+kp ，+kp](k∈Z)，而y＝sin 2x的递增区间即为原函数的递减区间．
所以，原函数的递减区间为(kp ，kp+)(k∈Z)．
[答案] (kp ，kp+)(k∈Z)．
[点评]
本题考查三角函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法．
4．已知
＜b
＜a ＜，cos(a －b )＝，sin(a +b
)＝－，则sin 2a 的值为____．
[提示]
由＜b
＜a ＜，得0 ＜a
－b
＜，p ＜a
+b ＜，根据cos(a －b )＝，有sin(a －b )＝；根据sin(a +b
)＝－，有cos(a +b
)＝－，
所以，sin 2a ＝sin[(a －b )+(a +b)]
＝sin(a －b )cos(a +b )+cos(a －b )sin(a +b )
＝×(－)+()×(－)＝－．
[答案]－．
[点评]
本题考查三角函数的和角公式、同角三角函数关系及运算能力．解题中运用了角的变换，注意到(a +b )+(a －b )＝2a ，得sin 2a ＝sin[(a +b )+(a －b)]，用两角和的正弦公式就可以得出sin 2a 的值，变换的思想是数学的基本思想．
3．对于正整数n，f(n)＝sin n a +cos n a ，若已知f(1)＝a(| sin a +cos a |)，
则f(3)＝____________．
[提示]
f(1)＝sin a +cos a ＝a，于是，得sin a cos a＝
，
从而f(3)＝sin3 a
+cos3 a ＝a(1－)＝
．
[答案]．
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