2．函数f(x)＝M sin(wx+j)(w ＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，

f(b)＝M，则函数g(x)＝M cos(w x+j)在[a，b]上(　 )．

(A)是增函数

(B)是减函数

(C)可以取得最大值M

(D)可以取得最小值－M

[提示]

利用特殊值法，令M＝w ＝1，j ＝0，则有 f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，同时a＝－，b＝，可见，g(x)在[a，b](即[－，])上既不是增函数，也不是减函数，但可以取得最大值1，故排除(A)、(B)、(D)．本题也可以用作图法求解．

[答案](C)．

[点评]本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力．

1．“a＝1”是“函数y＝cos² ax－sin² ax的最小正周期为 p ”的(　 )．

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

[提示]

由于y＝cos² ax－sin² ax＝cos 2ax，当a＝1时，函数的最小正周期为p ，当a＝－1时，函数的最小正周期也是p ，所以 a＝1是函数的最小正周期为p 的充分而不必要条件．

[答案](A)．

[点评]本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识．

5．设函数y＝sin ² x+a cos x+a－在0x上的最大值为1，求a的值．

[提示]

将函数y变形为y＝－(cos x－)²++a－，由cos x [0，1]，利用二次函数的图象性质，分情况讨论．

[答案]

∵　 y＝sin ² x+a cos x+a－

＝1－cos ² x+a cos x+a－

＝－(cos x－)²++a－．

由0x，得0cos x1．

下面对a的取值情况分类讨论：

(1)当0a2时，函数y在cos x＝处取得最大值+a－，据已知，

+a－＝1，即2a²+5a－12＝0，得a＝或a＝－4(舍去)；

(2)当a＜0时，函数y在cos x＝0时取得最大值a －，有a －＝1，

即a＝(舍去)；

(3)当a＞2时，函数y在cos x＝1处取得最大值，有＝1，

即a ＝(舍去)．

∴　 a ＝即为所求．

[点评]本题通过三角函数的有界性，结合二次函数的性质考查在限定区间内函数的最大(小)值的问题，以及综合运用数学知识解决问题的能力．

4．已知函数y＝++1，xR

　 (1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

　 (2)该函数的图象可由y＝sin x，xR的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

[提示]利用三角函数的有关公式，对函数y进行化简．

[答案]　 (1)y＝++1

　　　　 ＝(2 cos² x－1)+(2 sin x cos x)++1

　　　　 ＝

　　　　 ＝

　　　　 ＝．

当y取最大值时，必须有2x+＝2kp+，即x＝kp+(kZ)．

∴ 当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 x{x＝kp+，kZ}．

(2)[解法一]将函数y＝sin x依次进行如下变换：

①把函数y＝sin x的图象向左平行移动个单位长度，得到函数y＝sin(x+)的图象；

②把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数

y＝sin(2x+)的图象；

③把得到的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数

y＝的图象；

④把得到的图象向上平行移动个单位长度，得到函数y＝的图象．

综上得到函数y＝++1的图象．

[解法二]

①把函数y＝sin x图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象；

②再将图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得函数y＝的图象；③将得到的图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的倍(横坐标不变)，得到函数

y＝的图象；

④将得到的图象向上平行移动个单位长度，得函数y＝的图象．

[点评]

本题是2000年高考题，主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意：在由y＝sin x的图象得到y＝sin w x的图象时，是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长(或缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，而不是w 倍．

3．已知cos a ＝cos x·sin g ，cos b ＝sin x·sin g ，求证sin² a 　+sin² b +sin² g ＝2

[提示] 利用已知条件，注意到sin² a ＝1－cos² a ，sin² b ＝1－cos² b ，将条件代入原式的左边，化简即可．

[答案]左边＝1－cos² a +1－cos² b +sin² g

＝2－cos² a －cos² b +sin² g ，

又cos a ＝cos x sin g ，cos b ＝sin x sin g ，

∴　 左边＝2－cos² x sin² g －sin² x sin² g +sin² g

＝2－sin² g(sin² x+cos² x)+sin² g

＝2－sin² g+sin² g

＝2

∴　 原结论成立．

[点评]

本题通过三角恒等式的证明，考查三角函数恒等变形能力．寻求已知条件与所证恒等式之间的关系是证明的关键．

2．设p＜A＜，0＜B＜，且cos A＝－，cot B＝3，求证A－B＝．

[提示]根据已知，先计算tan(A－B)的值，再判断A－B的取值范围．

[答案]∵　 p＜A＜，cos A＝－，

∴　 sin A＝－＝，

于是，tan A＝＝2．

又cot B＝3，得tan B＝．

∴　 tan(A－B)＝＝＝1．

∵　 p＜A＜，0＜B＜，

∴　 ＜A－B＜．

∴　 A－B＝．

[点评]本题考查同角三角函数间的关系，两角差的正切，由三角函数值确定角的方法．

1．已知角a 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的非负半轴上，终边经过

点P(－1，2)，求sin(2a +)的值．

[提示]画出图形，先求得sin a ，cos a 的值．

[答案]据已知，| OP | ＝＝，

由三角函数的定义，sin a ＝，cos a ＝－．

于是，sin 2a ＝2 sin a 　cos a ＝－， cos 2a ＝2 cos² a －1＝－．

∴ sin(2a +)＝+

＝－×(－)+(－)×

＝．

[点评]本题考查三角函数的定义，两角和的正弦、倍角公式及计算能力．

5．方程＝在[p，2p]上的解是___________．

[提示]

由＝，得＝kp+(－1)^k，x＝2kp+(－1)^k(kZ)，当k＝1时，有x＝2p－[p，2p]．

[答案]2p－．

[点评]本题考查反正弦的定义．

4．函数f(x)，xR是奇函数，且当x0时，f(x)＝x²+sin x，则当x＜0时，f(x)＝____________．

[提示]

当x＜0时，－x＞0，由题设f(－x)＝(－x)²+sin(－x)＝x²－sin x.，又f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，于是f(x)＝－f(－x)＝－x²+sin x．

[答案]－x²+sin x．

[点评]本题考查函数的概念，函数的奇偶性及运算能力．

3．函数y＝+在(－2p，2p)内的递增区间是_____________．

[提示]

y＝+＝，函数y的单调递增区间由下面的条件决定：

解之即可．

[答案][－，]．

[点评]本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的单调性．