3．设锐角△ABC的外接圆圆心为O，边BC的中点为M，自顶点向BC引垂线，垂足为D，并在垂线上取一点H，与M在AO的同一侧，使得AH ＝2 OM，若＝，＝，＝．

(1)试用、、表示、；

(2)据(1)的结论，证明BH ⊥AC，CH ⊥AB．

[提示]

(1)用、、表示、，即寻求，关于、、的线性分解式，在△BOC中，可得，再利用＝2，而＝+，得；(2)要证BH ⊥AC，只需证明·＝0，用、、表示，，化简即可，同理可证CH ⊥AB．

[答案]

(1)在△BOC中，M为BC的中点，

∴　 ＝(+)＝(+)．

∵　 ＝2，

∴　 ＝+，

∴　 ＝－＝+＝++，

(2)∵　 ＝+＝－+(++)＝+，

＝+＝－+，

∴　 ·＝(+)(－+)＝||²－||²

又　 O为△ABC外接圆的圆心，有

||＝||＝||．

∴　 ·＝0，即　 BH ⊥AC．

同理，＝+，＝－，

·＝(+)(－)＝||²－||²＝0，

∴　 CH ⊥AB．

[点评]本题考查向量的加减法及运算律，向量的基本定理及向量垂直的充要条件，考查逻辑推理能力．

2．如图，在四边ABCD中，BC ＝a，DC ＝2 a，四个内角A、B、C、D的度数的比为

3︰7︰4︰10，求AB的长．

[提示]

由于AB在△ABD中，寻求使△ABD有解的条件是关键，据四边形内角和为360°及四个内角之比，可求得四个内角．此时△BDC便是已知两边BC、DC及夹角C．于是这个三角形可解．借助△BDC可以求的BD，∠ACB用正弦定理可得AB．

[解]连BD，设四个角A、B、C、D的度数分别为3 x，7 x，4 x，10 x．则由四边形内角和，有3 x +7 x +4 x +10 x ＝360°

∴　 x ＝15°．

∴　 A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°．

在△BCD中，由余弦定理，得

BD²＝BC²+CD²－2 BC · CD cos C

＝a ²+4 a ²－2 a · 2 a ·

＝3 a²．

∴　 BD ＝a．

这时有，BD²+BC²＝DC²，则△BDC为直角三角形，∠DBC ＝90°．

∴　 ∠CDB ＝30°．

于是　 ∠ADB ＝120°．

在△ADB中，由正弦定理，得

AB ＝

＝

＝．

[点评]

本题重点考查正弦定理，余弦定理及解斜三角形的基本方法、题目的已知条件以四边形为背景给出．实际四个内角和两条边已知，去求另外一边AB．一般的思路将所求的边AB放在三角形内，求解这个三角形是问题解决的核心，这就需要根据已知条件寻求解决AB所在三角形的充分条件．该找边的找边、该求角的求角．解决问题过程中，还需注意设计好演算程序，先求谁，后求谁，再求谁．显得思路清晰、演算合理．

1．在△ABC中，A ＝120°，sin B ∶ sin C ＝3︰2，S_△ABC＝6，求a．

[提示]

在△ABC中，要求a的值，已知A，应用余弦定理，只需求得b，c的长．由sin B∶sin C ＝3∶2，应用正弦定理，可将角的关系转化为b、c边的关系，再利用面积公式，得b、c的另一个关系式，解关于b、c的二元方程组，即可．

[答案]

在△ABC中，由正弦定理，得

＝＝．　 ①

又S_△ABC＝bc sin A ＝bc sin 120°＝6，

于是，bc ＝24．　　 ②

由①、②，可得b ＝6，c ＝4．(负值舍去)

据余弦定理，得

a²＝b²+c²－2 bc cos A

＝36+16－2×6×4×cos 120°

＝76，

∴　 a ＝2．

[点评]

本题考查应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的有关知识．在解三角形时，常常要将正弦定理，余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的．

5．求值：sin ² 20°+cos ² 80°+sin 20°cos 80°＝_________．

[提示]

分析原式的结构特点，联想到余弦定理．将其转化为边长的形式，构造三角形可求得原式的值．

[解]由于　 cos 80°＝sin 10°，则

sin²20+cos²80°+sin 20°cos 80°

＝sin ²20°+sin²10°+sin 20°sin 10°．

构造△ABC，使A ＝20°，B ＝10°，C ＝150°，三角形的外接圆半径为R．

则由正弦定理，得a ＝2 R sin A，b ＝2 R sin B，c ＝2 R sin C．

再据余弦定理，有c²＝a²+b²－2 ab cos C，

(2 R sin C)²＝(2 R sin A)²+(2 R sin B)²－2 (2 R sin A) (2 R sin B) cos C．

即　 sin² C ＝sin² A +sin² B －2 sin A sin B cos C．

sin ² 150°＝sin²20°+sin²10°－2 sin 20°sin 10°cos 150°．

∴　 sin² 20°+cos² 80°+sin 20°cos 80°＝．

[点评]

本题的解法很多，常用的方法是逆用倍角公式，由 sin²20°＝，cos²80°＝，然后再利用和差化积，积化和差公式，两角和差的三角函数式来化简，一般解题过程较长．前面提供的解法可以说另辟蹊径，据已知三角形函数式结特点，构造三角形，借用余弦定理求解思路新奇，简捷明快．

4．若向量＝(，－1)，＝(，)，＝+(x²－3)，＝－y+x，且x³－3 x －4 y ＝0，则与的夹角等于________．

[提示]要求与的夹角，可通过·来解．据已知，

·＝－y||²+x(x²－3)||²+[x －y(x²－3)] ·．

又　 ||²＝4，||²＝1，

·＝×+(－1)×＝0．

∴　 ·＝－4 y +x³－3 x

＝(x³－3 x)+x³－3 x

＝0．

∴　 ⊥，即与的夹角为90°．

[答案]90°．

[点评]本题主要考查向量的数量积及运算律．考查计算及逻辑推理能力．

3．将函数y ＝log₃(2 x +1)－4的图象按向量平移后得到的是函数y ＝log₃^2x的图象，则的坐标是___________．

[提示]设平移向量＝(h，k)．

由平移公式　 即

把(x，y)代入y ＝log₃(2 x +1)－4中，得

y′－k ＝log₃[2(x′－h)+1]－4，

即　 y′＝log₃[2 x′+(1－2 h)]+(k －4)．

∵　 平移后得到的是函数　 y ＝log₃^2x的图象，

∴　 　　即

∴　 ＝(，4)．

[点评]利用平移可以将复杂函数式转化为简单函数式，这是研究函数的一种重要方法．

2．已知＝(m +1，－3)，＝(1，m －1)，且(+)⊥(－)，则m的值是__________．

[提示]先由向量、的坐标，求得+＝(m +2，m －4)，－＝(m，－2－m)，再利用向量垂直的充要条件，得(+)·(－)＝0，即

(m +2)×m+(m －4)×(－2－m)＝0，

解出　 m ＝－2．

[答案]－2．

[点评]本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件及计算能力．

1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(3，1)，C(4，1)，则D点的坐标为__________．

[提示]设D(x，y)，在□ABCD中，由＝，得

(4－x，3－y)＝(3，1)

∴　 即

[提示二]

设点O为□ABCD中两条对角线AC、BD的交点．

∵　 A(O，O)，C(4，3)，且O为AC的中点，

∴　 O(2，)．

又　 O为BD的中点，B(3，1)，

∴　 D(1，2)．

[答案](1，2)．

[点评]本题考查向量的基础知识及其运算．

求点的坐标的基本方法有两种，一是利用向量的坐标运算，本题提示一利用了相等向量的定义，也可由＝，求得点D的坐标；二是利用线段的定比分点的坐标公式，提示二的解法利用了中点坐标公式．

6．在四边形ABCD中，E是AB的中点，K是CD的中点，则以线段AK，CE，BK，DE的中点为顶点的四边形是(　　 )．

(A)任意四边形　　 (B)平行四边形

(C)矩形　　　　　 (D)菱形

[提示一]利用坐标法．

设A(a₁，a₂)，B(b₁，b₂)，C(c₁，c₂)，D(d₁，d₂)，则K(，)，

E(，)，

若AK，BK，CE，DE的中点分别为O₁，O₂，O₃，O₄，则

O₁，O₂，O₃，O₄，则

O₁(，)，O₂(，)，

O₃(，)，O₄(，)．

于是，

O₁O₂的中点坐标为(，)，

O₃O₄的中点坐标为(，)．

∴　 四边形O₁O₄O₂O₃为平行四边形．

利用向量的坐标运算，可进一步验证·≠0，排除(C)；·≠0，排除(D)．

[提示二]利用向量式

若AK，BK，CE，DE的中点分别为O₁，O₂，O₃，O₄，则

＝(+)，＝(+)，

＝＝(+)，

＝＝(+)．

∴　 ＝－

＝[(+)－(+)]

＝(－)

＝[(++)－]

＝(+)

＝[()+()]

＝(+)．

又　 ＝－

＝[(+)－(+)]

＝(－)

＝[－(++)]

＝(－－)

＝[()+()]

＝(+)．

∴　 ＝，即四边形O₁O₄O₂O₃是平行四边形．

[答案](B)．

[点评]本题主要考查了向量的运算，提示一利用向量的坐标表示及线段的中点坐标公式．将平面几何图形的位置关系转化为坐标的计算问题；提示二利用向量的加、减法运算律，线段中点的向量形式，将问题转化为向量的线性运算，这正体现了向量工具的重要作用之一．

5．设，，为平面上的三个向量，且满足＝，＝，·＝(k ＝1，2)，则能使a+b＝成立的常数a、b的值是(　　 )．

(A)a ＝6，b ＝6　　 　(B)a ＝－6，b ＝6

(C)a ＝6，b ＝－6　 (D)a ＝－6，b ＝－6

[提示]要求a、b的值，必需寻求含有a、b的两个关系式．

由已知，得

·＝1，·＝，·＝，

²＝，²＝．

对于a+b＝，

等式两边同乘以，得

a²+b·＝·，

即　 a +b ＝1．　　 ①

等式两边同乘以，得

a·+b²＝·，

即　 a +b ＝．　　 ②

由①、②，可得

a ＝6，b ＝－6．

[答案](C)．

[点评]本题考查平面向量的数量积及运算律，考查方程的思想方法及逻辑推理能力．