1．已知全集，集合，，则集合   

A．                      B．                    C．                D．

2．“”是“”的

A．充分不必要条件                                        B．必要不充分条件

C．充要条件                                                  D．既不充分也不必要条件

3．在空间直角坐标系中，过点作直线的垂线，则直线与平面的交点的坐标满足条件

A．

B．

C．

D．

4．如右图，一个空间几何体的主(正)视图、侧(左)视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为

A．                                                           B．

C．                                                            D．

5．已知离心率为的曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为

A．                         B．                    C．                          D．

6．若奇函数在区间上是增函数，又=0，则不等式的解集为

A．                                         B．

C．                                      D．

7．设数列是等差数列，且是数列的前项和，则

A．                                                     B．

C．                                                     D．

8．已知直线、与函数图像的交点分别为、，与函数图像的交点分别为、，则直线与

A．相交，且交点在第一象限

B．相交，且交点在第二象限

C．相交，且交点在第四象限

D．相交，且交点在坐标原点

9．在右程序框图中，当N（n>1）时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为

A．                                           B．

C．                                            D．

10．某宾馆有N间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：

每间客房的定价

220元

200元

180元

160元

每天的住房率

50ㄇ

60ㄇ

70ㄇ

75ㄇ

对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为

A．220元                      B．200元                C．180元                 D．160元

（一）必做题：第11、12、13题为必做题（第13题前一空2分，后一空3分），每道试题考生都必须做答

11．已知向量，向量与方向相反，且，则实数        ．

12．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为        辆．

13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：

则     ，若存在正整数，使，，则        ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为         ．

15．（几何证明选讲选做题）如右图，、是两圆的交点，是小圆的直径，和分别是和的延长线与大圆的交点，已知，且，则=        ．

16．（本小题满分12分）

已知复数在复平面上对应的点为．

（Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作为，求复数为纯虚数的概率；

（Ⅱ）设，求点落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．

17．（本小题满分12分）

如图，已知点点为坐标原点，点在第二象限_，且，记．学科网

（Ⅰ）求的值；学科网

（Ⅱ）若学科，求的面积．

18．（本小题满分14分）

在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，为的中点，求三棱锥的体积．

19．（本题满分14分）

已知函数，且其导函数的图像过原点．

（Ⅰ）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）当时，求函数的零点个数．

20．（本题满分14分）

已知等比数列的公比，且与的一等比中项为，与的等差中项为6．

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前项和，，请比较与的大小；

（Ⅲ）数列中是否存在三项，按原顺序成等差数列？若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．

21．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准

说明：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 B

 A

C

B

C

B

D

D

C

C

11． . 12．76.  13． ， ． 14．．    15．.

16．（本小题满分12分）

已知复数在复平面上对应的点为.

（Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合

 中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率；

（Ⅱ）设,求点落在不等式组：所表示的平面区内的概率.

解：(1)记 “复数为纯虚数”为事件

∵组成复数的所有情况共有12个：，，

，，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型. ……2分

其中事件包含的基本事件共2个: ………4分

∴所求事件的概率为………………6分

（2）依条件可知,点均匀地分布在平面区域内,

    属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形围成的区域, 面积为

   ……8分

所求事件构成的平面区域为,其图形如下图中的三角    第16题图

形(阴影部分)                                                        

又直线与轴、轴的交点分别为,

所以三角形的面积为……10分

∴所求事件的概率为………………12分

17．（本小题满分12分）

如图, 已知点点在第二象限_，且，为坐标原点，记．学科网

（Ⅰ）求的值；学科网

（Ⅱ）若学科,求的面积．

学科

解：(1) 点的坐标为，

   ………………3分                      

     ……………6分

 (2)（解法一）在中， ，

   ，                                  第17题图

   ，

 ………10分

的面积        ………………12分

（解法二）设，由，得

，                      ………8分

解得：，或       

又点在第二象限，故.             ………10分

的面积             ………12分

18．（本小题满分14分）

  在直三棱柱中， 平面，其垂足落在直线上.

(Ⅰ)求证：;

  (Ⅱ)若，,为的中点，求三棱锥的体积.

（Ⅰ）证明：三棱柱 为直三棱柱，

平面，

又平面，

 ------------------------------------------------------2分

平面，且平面，                        

.                                                     

又  平面,平面,，

平面，----------------------------5分                          第18题图

又平面，

 -----------------------------------7分

（2）在直三棱柱 中，.                      

平面，其垂足落在直线上,

 .

 在中，，，,

在中，  -------------------------------------------------------------9分

由（1）知平面，平面,从而      

为的中点，-----------------------11分

---------------------14分

19.（本题满分14分）

已知函数，且其导函数的图像过原点.

(Ⅰ)当时,求函数的图像在处的切线方程;

(Ⅱ)若存在,使得,求的最大值；

(Ⅲ)当时，求函数的零点个数.

解: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 当时, ,，,

所以函数的图像在处的切线方程为,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

当且仅当时，

所以的最大值为.                                            --------------------9分

极大值

极小值

 (Ⅲ) 当时，的变化情况如下表：

-

---------11分

的极大值，的极小值

又，.

所以函数在区间内各有一个零点，

故函数共有三个零点。--------------------14分

注：①证明的极小值也可这样进行:

设，则

当时, ,当时, ,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.

②证明函数共有三个零点。也可这样进行:

的极大值，的极小值,

当 无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于

    故函数在区间内各有一个零点，

故函数共有三个零点。--------------------14分

20．（本题满分14分）

已知等比数列的公比,且与的一等比中项为,与的等差中项为.

（I）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设为数列的前项和,,请比较与的大小；

（Ⅲ）数列中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明.

解: （I）由题意得,解得或--------------------2分

由公比,可得.--------------------3分

故数列的通项公式为--------------------5分

（Ⅱ）,--------------------6分

，，

.--------------------8分

当或为正偶数时, --------------------9分

当正奇数且时, ---------10分

（Ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列, ---------11分

则,即,---------12分

由知为奇数, 为偶数,从而某奇数某偶数, 产生矛盾. --------13分

所以数列中不存在三项,按原顺序成等差数列. --------14分

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆

相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是圆上的点，点是定点，斜率为且过点的直线与椭圆相交于、两点，若是与无关的值，求点、的坐标.

解: （Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程 ，

圆的圆心为,半径. --------------------1分

由,得直线,

即,--------------------2分

由直线与圆相切,得,

或(舍去). -------------------4分                              第21题图

当时, ,  故椭圆的方程为-------------------5分

（Ⅱ）设,直线,代入椭圆的方程并整理得: ,   -------6分

设、,则是上述关于的方程两个不相等的实数解，

   -------8分

（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.                         

解: （Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程 ，

圆的圆心为,半径. --------------------1分

由,得直线,即,--------------------2分

由直线与圆相切,得,

或(舍去). -------------------4分

当时, ,  故椭圆的方程为-------------------5分

（Ⅱ）(解法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直, ------------------6分

由可设直线的方程为，直线的方程为. ------------------7分

将代入椭圆的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐标为,即---------9分

将上式中的换成,得.------------------10分

直线的方程为------------------11分

化简得直线的方程为，------------------13分

因此直线过定点.------------------14分

 (解法二)若直线存在斜率，则可设直线的方程为：， -------1分

代入椭圆的方程并整理得: ,   -------6分

由与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而

   -------8分

由得，

整理得： 由知.

此时, 因此直线过定点.-------12分

若直线不存在斜率，则可设直线的方程为：，

将代入椭圆的方程并整理得: ,

当时, ,直线与椭圆不相交于两点，这与直线与椭圆相交于、两点产生矛盾!

当时, 直线与椭圆相交于、两点，是关于的方程的两个不相等实数解，从而

但,这与产生矛盾! ------13分

因此直线过定点.-------14分

注：对直线不存在斜率的情形，可不做证明.