1．函数和在同一直角坐标系下的图像大致是（    ）

2．已知直线和平面m，直线直线b的一个必要不充分的条件是（    ）

      （A）且                                 （B）且

      （C）且                                      （D）与m所成角相等

3．若弧度是2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（    ）

（A）               （B）              （C）               （D）

4．已知动点在曲线上移动，则点与点连线中点的轨迹方程是（    ）

（A）          （B）      （C）      （D）

5．用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的 

区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ）

（A）400种                                                   （B）460种

（C）480种                                                （D）496种

6．设是和的等比中项，则的最大值为

（A）10                   （B）7                     （C）5                     （D）

7．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为

（A）                  （B）                     （C）                    （D）

8．若，且，，则等于（  ）

（A）                （B）                    （C）                      （D）

9．已知点A，B，C不共线，且有，则有（  ）

（A）                             （B）

（C）                              （D）

10．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（  ）

（A）                                         （B）

（C）                                                 （D）

11．已知集合，，则=          。

12．在的二项展开式中，若只有系数最大，则n=           。

13．已知向量，，且，，则向量=       。

14．某运动员投篮投中的概率，那么该运动员重复5次投篮，投中次数的期望是  ；方差是    。

15．已知函数满足条件，则正数=      。

16．如果点p在平面区域上，点Q在曲线上，那么的最大值为       。

17．如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有      （只需填上正确命题的序号）。

（1）动点在平面上的射影是线段

（2）三棱锥的体积有最大值；

（3）恒有平面平面；

（4）异面直线与不可能互相垂直；

（5）异面直线与所成角的取值范围是。

18．（本小题满分14分）

设函数。

（1）试判定函数的单调性，并说明理由；

（2）已知函数的图象在点处的切线斜率为，求的值．

19．（本小题满分14分）如图，矩形与矩形全等， 

且所在平面所成的二面角为，记两个矩形对角线的交点分别  

为，，，。

（1）求证：平面；

（2）当，且时，求异面直线与所成   

的角；

（3）当，且时，求二面角的余弦值（用，表示）。

20．（本小题满分14分）如图，在椭圆中，点是左焦点，   ，分别为右顶点和上顶点，点为椭圆的中心。又点在椭圆上，且满足条件：，点是点在x轴上的射影。

（1）求证：当取定值时，点必为定点；

（2）如果点落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆离心  

率的取值范围；

（3）如果以为直径的圆与直线相切，且凸四边形的面积等于，求椭圆的方程。

21．（本小题满分14分）某远洋捕渔船到远海捕鱼，由于远海渔业资源丰富，每撒一次网都有w万元的收益；同时，又由于远海风云未测，每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能，其概率为（常数k为大于l的正整数）。假定，捕鱼船吨位很大，可以装下几次撒网所捕的鱼，而在每次撒网时，发生不发生沉船事故与前一次撒网无关，若发生沉船事故，则原来所获的收益将随船的沉没而不存在，又已知船长计划在此处撒网n次。

（1）当n=3时，求捕鱼收益的期望值

（2）试求n的值，使这次远洋捕鱼收益的期望值达到最大。

22．（本小题满分16分）设数列的所有项都是不等于1的正数，前n项和为，已知点在直线上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又。

（1）求证：数列是等比数列；

（2）如果，求实数k，b的值；

（3）如果存在，使得点和都在直线上，试判断，是否存在自然数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．

数学试题卷（理科）评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

D

C

C

C

A

C

A

A

11．                    12．10                         13．

14．3     ；1.2             15．                        16．

17．（1）（2）（3）（5）

18．（本小题满分14分）   

解：，

定义域内单调递增。                                                            4分

（2）由，得：。

    ，得，                      4分

                                     6分

19．（本小题满分14分）

（1）连接，分别是，的中点，

，而平面，

；                                                                              4分

（2）以为原点，分别为轴，轴建立空间       直角坐标系，如图：

由条件可设，，，，又，，，，，，设异面直线AC与所成角为，                                                                                                         4分

则

，∴

异面直线与所成角为

（3）设，， ，，

，又有， 

，，得，

设平面的法向量为，

，，而，，

，设平面的法向量为m，则，

 。                                   6分

20．（本小题满分14分）

（1）由，，得，代入椭圆方程，得，或，轴，或，

为定值，为定点；                                                           4分

（2）点落在左顶点与左焦点之间，只有，且，可解得；                                                                            4分

（3）以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于。由条件设直线，则点O到直线的距离，又，得①

又由，

得。②    由①②解得，，

所以所求椭圆方程为：。                                    6分

21（本小题满分14分）

解：（1）列表：

收益

0

3W

P

3分

所以收益的期望值=                                         3分   

（2）列表：

收益

0

nW

P

因此，撒了n次网收益的期望值等于                      4分

   ，

等价于，得。

当时，；

  当时，；

  当时，；

 因此，当时，达到最大。                                                4分

22．（本小题满分16分）

解：（1）点，都以直线上，

，得。

常数，且，（非零常数）

数列是等比数列。                                                       4分

（2）由，得，

，得。   

由在直线上，得，

令得。                                            4分

（3）恒成立等价于，

  存在，使得和都在上，

  ，（1）

    ，（2） 

得：，

     易证是等差数列，设其公差为d，则有，

，，

得：，

又

由，  得，

即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，                                4分

  一定存在一个最小自然数M，使

  ，   即

解得。

，。

即存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立。4分

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