42、按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

　 解：已知本金为元

　　 1期后的本利和为；

2期后的本利和为；

3期后的本利和为；……

　 期后的本利和为

将(元)，=2.25%, 代入上式得

由计算器算得(元)　　 答：复利函数式为，

5期后的本利和为1117.68元

评述：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受。

41、已知椭圆C：(a＞b＞0)的长轴两端点为A、B， (1)过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB=时，求C的离心率； (2)如果C上存在一点Q，且∠AQB=120⁰，求C的离心率的范围。 解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为. k_PA=，k_PB=. ∴tg∠APB=，∴，∴e=. (2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0. k_AQ=，k_BQ=，∴=tg∠AQB=. ∴=(x²+y²－a²)+2ay=0. 此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或.由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当时，由Q在椭圆上半部. ∴≤b，∴，∴e∈.

40、过椭圆的左焦点F₁的弦AB，过A，B分别向左准线引垂线，垂足分别为M，N，当线段MN最大时，求直线AB的方程。 解：由已知方程得F₁(－4，0)，设直线AB方程：y = tg(x+4),代入椭圆方程=,当sin时，|MN|最大，

此时　　　 ∴直线方程为：.

39、某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M(t)与年数t满足关系式(其中为鱼苗成本，)。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少(设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤)。

解：设第年鱼的产值为最高。p为鱼苗总重量，则

，

……，

当

即第4年鱼的产值最高；另一方面，

当或4时，

下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用的大小。

若G≠0则取；

若则取

∴取，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。

38、铁道机车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分为元，变动部分与运行速度V(千米/小时)的平方成正比。比例系数为k(k≠0)。如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省应以怎样的速度运行？

解：设以速度V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，则机车匀速从甲站到乙站所需时间为总成本为元。

仅当时，有最小值，

故机车以速度千米/小时匀速运行时，成本最省。

37、某市1994年底人口为20万，人均住房面积为8，计划1998年底人均住房面积达10。如果该市每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万(结果以万为单位，保留两位小数)。

解：设平均每年至少要新增住房面积万。四年共新增住房面积4万。此时住房总面积应为万。另一方面，到1998年底总人口为20(1+1%)⁴万。按人均10计，1998年底应有住房面积为20×10×(1+1%)⁴万。据题意有：

因故即

故该城市每年至少要新增住房面积12、03万，才可达人均住房面积10的目标。

36、某企业在今年年初向银行贷款万元，年利率为；从今年年末开始，每年末向银行偿还一定的金额，预计五年内还清，问每年末平均偿还的金额应是多少？

解：设平均每年末应向银行偿还万元，则每年尚欠银行款依次为：

……

第五年欠款应等于零，即：

…

∴　　 故平均每年末向银行偿还金额万元。

35、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种)，所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？

解：设种亩水稻(0<x≤50)，亩棉花(0<x≤50)时，总产值为且每个劳力都有工作。

且、满足

即

欲使为最大，则应为最小，故当(亩)时，万元，此时(亩)。

故安排1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作。

34、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？

解：设售价为元时利润为，此时售量为

当时，(元)。

答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元。

33、在一个每边长均为1的正三棱锥内部有13个点，其中任三点不共线，任四点不共面，试证：其中至少有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥，其体积V

证明：设棱长均为1的正三棱锥为A-BCD，AO是它的高，今在AO上取一点O₁，使O₁A=O₁B=O₁C=O₁D，可求得OB=，AO=，

进而求得O₁A=O₁B=O₁C=O₁D=；

以O₁为点，以A-BCD得四个面为底面的四个三棱锥显然等积，且V'=；

在三棱锥内部的13个点，因为其中任三点不共线，任四点不共面，由抽屉原理，至少有四点落在以O₁为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内，那幺这四点为顶点的三棱锥的体积V。