2010年联考题

25..(2008湖北).已知数列和满足：

,其中为实数，为正整数.

(Ⅰ)对任意实数，证明数列不是等比数列；

(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分)

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以{a_n}不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·(a_n-3n+21)=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以

当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此时{b_n}不是等比数列：

当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列{b_n}是以－(λ+18)为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -(λ+18)·(－)^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)·［1－(－)ⁿ］〈b(n∈N⁺)　　　　　　　

　 ①

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；

当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<2.

24.(2008江西卷)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.

(1)求；

(2)求证.

解：(1)设的公差为，的公比为，则为正整数，

，

依题意有①

由知为正有理数，故为的因子之一，

解①得

故

(2)

∴

23.(2008四川卷)． 设数列的前项和为，已知

(Ⅰ)证明：当时，是等比数列；

(Ⅱ)求的通项公式

解　 由题意知，且

两式相减得

即　　 ①

(Ⅰ)当时，由①知

于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。

(Ⅱ)当时，由(Ⅰ)知，即

　　　 当时，由由①得

_{[来源:高&考%资(源#网]}

因此

得

18.(2008重庆)设S_n=是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂=-8,S₉=-9,则S₁₆=　　　　 .

答案　 -72

17.(2008四川)设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.

答案　 4

6.(2008福建)设{a_n}是公比为正数的等比数列，若n₁=7,a₅=16,则数列{a_n}前7项的和为(　 )

A.63　　　　　　　　　　 B.64　　　　　　　　 C.127　　　　　　　 D.128

答案　 C

5.(2008四川)已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()

A.　　　　　　　　 　　B.　

C.　　　　　　　 　　　D.

答案　 D

4.(2008浙江)已知是等比数列，，则=(　　 )

A.16()　　　　　　　　　　 B.6()　　　　

C.()　　　　　　　　　　 D.()

答案　 C

3.(2008广东)记等差数列的前项和为，若，，则(　 )

A．16　 　　　　 　 　B．24　　 　　 　C．36　　 　　　　 　　 D．48

答案　 D