8.(本小题满分12分)

　　 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 　　　　　　　

(I)证明：

(II)设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。

分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。

17.解析：(1)在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得。

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.A

(2)假设在线段上存在点，使得平面.

,

可设

又.

由平面，得即

故，此时.

经检验，当时，平面.

故线段上存在点，使得平面，此时.

7.(13分)

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

(1)　　　 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

(2)　　　 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

6.(本小题满分12分)

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点　 。

(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

(II)用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 　　　　

　 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).　　　　　　　　　　　

又=(0，0，2)为平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·　　　　　　　　

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos·　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

3.(本小题满分12分)

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD 　　　

(I)　 求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(II)　 证明平面AMD平面CDE；

(III)求二面角A-CD-E的余弦值。 　　

如图所示，建立空间直角坐标系，

点为坐标原点。设依题意得　 　　

(I)　 　　　

所以异面直线与所成的角的大小为.

(II)证明： 　，

(III)

又由题设，平面的一个法向量为

是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，

，的中点，，．

　 (I)设是的中点，证明：平面；

　 (II)证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

证明：(I)如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，　 　　

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。

[解析]设由可得故

[答案](0,-1，0) 　　　　　

1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________ 　　　　　　

13.(2010江苏卷)16、(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由(1)知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。

(方法二)体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得，

故点A到平面PBC的距离等于。

2009年高考题

12.(2010湖南理)

11.(2010福建文)20． (本小题满分12分)

如图，在长方体ABCD – A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁,D₁C₁上的点(点E与B₁不重合)，且EH//A₁D₁。过EH的平面与棱BB₁,CC₁相交，交点分别为F，G。

　 (I)证明：AD//平面EFGH；

　 (II)设AB=2AA₁=2a。在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE – D₁DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A₁B₁, B₁B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。