5. (马鞍山学业水平测试)(本小题满分8分)

如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是BB₁、CD的中点.

(Ⅰ)证明：AD⊥D₁F;

(Ⅱ)求AE与D₁F所成的角;

(Ⅲ)证明：面AED⊥面A₁FD₁.

解：以D为原点，DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1…………………………………………………………………………1分

则有A(1,0，0)，E(1，2，)，F(0，，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)……2分

(Ⅰ)，∴AD⊥D₁F………………………4分

(Ⅱ)，∴AE⊥D₁F

　 AE与D₁F所成的角为90⁰…………………………………………………………………6分

(Ⅲ)由以上可知D₁F⊥平面AED，又D₁F在平面A₁FD₁内，

　 ∴面AED⊥面A₁FD₁……………………………………………………………………8分

是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，

，的中点，，．

　 (I)设是的中点，证明：平面；

　 (II)证明：在内存在一点，使平面．

证明：(I)如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在

直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则

，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

(II)设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，

4．(池州市七校元旦调研)设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 (　　 )　

A．　　　　 B．　　 C．　　　 D．

答案：C

[解析]对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．

3．(师大附中理)设是半径为2的球面上四个不同的点，且满足两两互相垂直，则的最大值是__________。

答案：8

2．(肥城市第二次联考)如右图所示，在正方体中，分别是

，的中点，则以下结论中不成立的是(　 C　 )

A．与垂直　 B．与垂直　

C．与异面　 D．与异面

答案 C

解析：连结，在中，，所以A、B、D正确，C错，选C。

1．(师大附中理)如图1，是正方形所在平面外一点，平面，，则与所成的角的度数为

　　 A．　　　　　　　　 B．

　　 C．　　　　　　　　 D．

答案：C

2010年联考题

7.(2005江西)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

(1)证明：D₁E⊥A₁D；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

(3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x, y, z轴，建　　　　　　　 立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，

E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)

(1)证明 　

(2)解 　因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，

从而，

，

设平面ACD₁的法向量为，

则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

(3)解 　设平面D₁EC的法向量，

∴

由　 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为.

6.(2006广东卷)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直

径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，

AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B-AD-F的大小；

(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

解 　(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B-AD-F的平面角，

依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝45⁰.

即二面角B-AD-F的大小为45⁰.

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O(0，0，0)，A(0，，0)，B(，0，0),D(0，，8)，E(0，0，8)，F(0，，0)

所以，

.

设异面直线BD与EF所成角为，

则

直线BD与EF所成的角为

5. (2007福建理•18)如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有

棱长都为2，D为CC₁中点。

(Ⅰ)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小；

(Ⅲ)求点C到平面A₁BD的距离；

(Ⅰ)证明 　取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

(Ⅱ)解　 设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由(Ⅰ)知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

(Ⅲ)解 　由(Ⅱ)，为平面法向量，

．

点到平面的距离．

4. (2008福建18)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，

其中BC∥　 AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

(Ⅰ)求证：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小；

(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ)证明　 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解 　以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

(Ⅲ)解 　假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由，得

解y=-或y=(舍去)，

此时，所以存在点Q满足题意，此时.