3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱

，，，

在底面上的射影恰为的中点，

又知。

(I)求证：平面；

(II)求到平面的距离；

(III)求二面角的大小。

(I)证明 　如图，取的中点，则，因为，

　　 所以，又平面，

　　 以为轴建立空间坐标系，

　 则，，，

，，

，，

，由，知，

　 又，从而平面；

(II)解 　由，得。

　 设平面的法向量为，，，

所以，设，则

　 所以点到平面的距离。

　 (III)解　 再设平面的法向量为，，，

　　 所以，设，则，

　　 故，根据法向量的方向，

　　　 可知二面角的大小为。

2. (山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点

　(1)求证：；

　(2)求二面角的大小(用反三角函数表示)；

　(3)求点到平面的距离.

(1)证明　 建立如图所示， 　

∵　 　　

∴ ， 即AE⊥A₁D， 　AE⊥BD 　， ∴AE⊥面A₁BD

(2)解　 设面DA₁B的法向量为

由 ， ∴取

设面AA₁B的法向量为 　，

由图可知二面角D-BA₁-A为锐角，∴它的大小为arcos .

(3)解　 ，平面A₁BD的法向量取,

则B₁到平面A₁BD的距离d= .

1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

　(Ⅰ)求证：平面；　 　　

(Ⅱ)求到平面的距离；

　(Ⅲ)求二面角的大小.

(Ⅰ)证明　 如图,取的中点,则,∵,∴,

又平面,以为轴建立空间坐标系,

则,,,,,,

,,由,知,

又,从而平面.

　(Ⅱ)解　 由,得.设平面的法向量

为,,,,

设,则

∴点到平面的距离.

　(Ⅲ)解 　设面的法向量为,,,

∴

设,则,故,

根据法向量的方向可知二面角的大小为.

6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知

等腰直角三角形，其中∠=90º，．

点A、D分别是、的中点，现将△沿着边

折起到△位置，使⊥，连结、．

(1)求证：⊥；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

(1)证明　 ∵点A、D分别是、的中点，

∴.　　　　　　　

∴∠=90º.

∴.

∴ ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

∵,

∴⊥平面.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵平面,

∴.　　　　　　　

(2)解 　建立如图所示的空间直角坐标系．

则(－1，0，0)，(－2，1，0)，(0，0，1).

∴=(－1，1，0)，=(1，0，1),　　　

设平面的法向量为=(x，y，z)，则：

，　　　　　　　　

令，得，

∴=(1，1，－1).

显然，是平面的一个法向量，=()．　　　

∴cos<，>=．　

∴二面角的平面角的余弦值是.　　　　

2007-2008年联考题

5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，

已知平面，平面，△为

等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

设，建立如图所示的坐标系，则

.

∵为的中点，∴.　　　 　　　

　(1) 证明 　，　　　

∵，平面，∴平面.　 　

　(2) 证明　 ∵，　

∴，∴. 　　　　　

∴平面，又平面，

∴平面平面.　　　　　　　　　　　　　　　　

　(3) 解 　设平面的法向量为，由可得：

　 ，取. 　　　　　

　 　又，设和平面所成的角为，则

　 .

∴直线和平面所成角的正弦值为. 　　　

4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，

在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(1)求证：平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(3)求点E到平面ACD的距离．

　 ⑴ 证明　 连结OC

，．

在中，由已知可得

而， 　

即　

∴平面．

　 (2)解 　以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

，　

∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．

⑶解 　设平面ACD的法向量为则

，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

又 ∴点E到平面ACD的距离　 ．

3.(厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．

(Ⅰ)求DH与所成角的大小；

(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小．

解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．

设

则，．连结，．

设，由已知，

由

可得．解得，

所以．(Ⅰ)因为，

所以．即DH与所成的角为．

(Ⅱ)平面的一个法向量是．

因为， 所以．

可得DH与平面所成的角为．

2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等

边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，

M为BC的中点

(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。

(Ⅰ) 证明 　以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意，可得

∴

∴

即,∴AM⊥PM . 　　　　

　(Ⅱ)解　 设，且平面PAM，则

　 即

∴ ，　　

取，得　　　　　　　　　　

取，显然平面ABCD， ∴

结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；　

(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则

=

即点D到平面PAM的距离为　　　　　　

1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中

(1)求证：；

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)求到平面PAD的距离

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

(1)证明 　设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴

又， ∴　 ∴∴

∴ 　，　 即。

(2)解 　设平面PAD的法向量是，

∴ 　　取得，又平面的法向量是∴ 　， ∴。

(3)解　 　　∴到平面PAD的距离。

7、(2009南华一中12月月考)正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．

(1)求斜高SM的长；

(2)求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的小；

解法一：(1)连OM，作OH⊥SM于H．

∵SM为斜高，∴M为BC的中点，

∴BC⊥OM．

∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．

又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC． 2分

由题意，得．

设SM＝x，

则，解之，即．…………………6分

(2)设面EBC∩SD＝F，取AD中点N，连SN，设SN∩EF＝Q．

∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．

又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．

从而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．

∴∠SQM为所求二面角的平面角，记为α．……… 7分

由平几知识，得．

∴，∴．

∴，即　　

所求二面角为． ……… 12分

　 解法二：(1)建立空间坐标系(如图)

∵底面边长为1，∴，

，，

．　　 ……………1分

设，

平面SBC的一个法向，

则，．

∴，．

∴y＝2h，n＝(0，2h，1)．… 3分

而＝(0，1，0)，由题意，得　　　　　　　　　 ．解得．

∴斜高． …………………………………………6分

(2)n＝(0，2h，1)＝，

由对称性，面SAD的一个法向量为n₁＝………8分

设平面EBC的一个法向量n₂=(x，y，1)，由

，，得

　解得∴．…10分

设所求的锐二面角为α，则

，∴．……… 12分

2009年联考题