3. (2008湖南17 )如图所示，四棱锥P-ABCD的底面

ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

　 (Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的

坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，

P(0，0，2),

(Ⅰ)证明　 因为，

平面PAB的一个法向量是，

所以共线.从而BE⊥平面PAB.

又因为平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)解　 　易知　

　　　 设是平面PBE的一个法向量，则由得

所以

　 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取

于是，

　 故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是

2. (2008安徽)如图，在四棱锥中，底面四边长

为1的菱形，, , ,为

的中点，为的中点

(Ⅰ)证明：直线；

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为

轴建立坐标系

,

(1)证明　

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)解　 设与所成的角为,

　 　, 与所成角的大小为.

(3)解　 设点B到平面OCD的距离为，

则为在向量上的投影的绝对值,

　　　 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

1. (2008全国Ⅱ19)(本小题满分12分)

如图，正四棱柱中，，点在上且．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．依题设，．

，

．

(Ⅰ)证明　 因为，，

故，．

又，

所以平面．

(Ⅱ)解　 设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．

14.(本题满分14分)

如图，在直三棱柱中，,

,求二面角的大小。 　　

简答：

2005-2008年高考题

解答题

12．(本小题满分12分)

在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

(1)求证：平面⊥平面；　 　　　　　

(2)求直线与平面所成的角的大小；

(3)求点到平面的距离.

方法二：

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

　所以所求角的大小为。

(3)由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

19(本小题满分12分)

如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互

相垂直，△是等腰直角三角形，

(I)求证：；

(II)设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(III)求二面角的大小。

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B(0，1，0)，D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

　(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

　　 M ( 0,0, 　),　　 P ( 1, ,0 ).

　　 从而=,

于是·=·=0

　　　 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

　　　 故PMM∥平面BCE.　　　　　　 　　　　　　　………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=(x,y,z).

　，　　　　　　　

　　　　　　　　 即

取y=1，则x=1，z=3。从而。

取平面ABD的一个法向量为。

。

故二面角F-BD-A的大小为arccos。……………………………………12分

11.(本小题满分12分)

　 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE

(Ⅰ)证明：平面平面; 　　　　

(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。

解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各

点的坐标分别是A(2,0,0,),　 .(2,0, ), D(-1, ),　 E(-1,0.0)

易知=(-3，，-)，=(0，-，0)，=(-3，，0)

设n=(x，y，z)是平面DE的一个法向量，则

解得

故可取n=(,0,-3，)于是　 　　

= 　　　　

由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为

18.(本小题满分12分)

如图4，在正三棱柱中，

D是的中点，点E在上，且。

(I)　　　　　　　　　　 证明平面平面

(II)　　　　　　　　 求直线和平面所成角的正弦值。　 　　　　　

解　 (I) 如图所示，由正三棱柱的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A　 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

解法2　 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设

A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是

A(0,-1,0)， B(，0，0)，　 C(0，1，)，　 D(，-，)。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，)　 　　　　　

设平面ABC的法向量为n=(x，y，z),则有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

10.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分)

　　　　 如题(18)图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：

　　　　 (Ⅰ)直线AB到平面EFCD的距离：　 　　

　　　　 (Ⅱ)二面角F-AD-E的平面角的正切值，

9．(本小题共14分)

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

(Ⅰ)求证：平面；　 　　　　　　　

(Ⅱ)当且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

[解法2]如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

　　　　　　　 设

则，

(Ⅰ)∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

(Ⅱ)当且E为PB的中点时，，

　 设AC∩BD=O，连接OE，

　由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，

　 ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

　 ∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

19．(本小题满分12分，(Ⅰ)问5分，(Ⅱ)问7分)

如题(19)图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

(Ⅰ)点到平面的距离；

(Ⅱ)二面角的大小．　 　　

(Ⅰ)如答(19)图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面

即点A在xoz平面上，因此

又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面

yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形 ,

知

设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B(0，2，2)，所以E(0，1，1) .

在CD上取点G，设G()，使GE⊥CD .

由故

　　 ①　

又点G在直线CD上，即，由=()，则有　②

联立①、②，解得G＝　,

故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为　 .

因为=，,所以

故所求的二面角的大小为 .

作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.

　 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得　

即与平面所成的角为

分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。