1．配方法--二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系)，如

(1)求函数的值域

(答：[4,8])；

(2)当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___

(答：)；

(3)已知的图象过点(2,1)，则的值域为______

(答：[2, 5])

3．复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域(即的定义域)。如

(1)若函数的定义域为，则的定义域为__________

(答：)；

(2)若函数的定义域为，则函数的定义域为________

(答：[1,5])．

2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。

1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如

(1)函数的定义域是____

(答：)；

(2)若函数的定义域为R，则_______

(答：)；

(3)函数的定义域是，，则函数的定义域是__________

(答：)；

(4)设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围

(答：①；②)

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个

(答：9)

(1)已知函数，，那么集合中所含元素的个数有　　　 个

(答： 0或1)；

(2)若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝　　　

(答：2)

㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：

(1)设是集合到的映射，下列说法正确的是　

A、中每一个元素在中必有象　　 　　　　

B、中每一个元素在中必有原象　

C、中每一个元素在中的原象是唯一的 　

D、是中所在元素的象的集合

(答：A)；

(2)点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________

(答：(2，－1))；

(3)若，，，则到的映射有　　 个，到的映射有　 个，到的函数有　　 个

(答：81,64,81)；

(4)设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个

(答：12)；

(5)设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____

(答：或{1}).

　以抛物线定义为例，若点在抛物线或上，则定义式可分别变式为或，等等．

　例3　(全国卷Ⅱ．文)抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(　)

　A．2　　　　　　 B．3　　　　　　 C．4　　　　　　 D．5

　　 解：已知抛物线，得，

　根据抛物线的定义可知，故选D．

　点评：变用定义，实现了距离与坐标之间的转化．

　以双曲线定义为例，若点P的轨迹是双曲线，则等式恒成立．

　例2　(福建卷)已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(　)

　A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

　解：是正三角形且边的中点在双曲线上，则设边的中点为，有，，从而，．

　根据双曲线的定义可知，

　解得，故选D．

　点评：当已知是何种圆锥曲线且与两焦点有关时，可直接利用定义求解，以达到简缩思路、简化运算的目的.

　以椭圆定义为例，若，则点的轨迹必是椭圆．

　例1　(重庆卷．文)已知点，点是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程是　　．

　解：由已知圆知圆心，半径．

　线段的垂直平分线交于，

　，

　从而，且，

　根据椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，

　且，

　又由条件可知焦点在轴上，

　故所求点的轨迹方程为．

　点评：由已知点A与圆心F的对称性，可以猜测A，F是椭圆或双曲线的两焦点，一举奠定了利用定义求轨迹方程的基础.