2. △ABC中若sin(A+B) ，则△ABC是( B )

A 锐角三角形　 　　B　 直角三角形　　

C　 钝角三角形　　 D　 等腰三角形

[例6]已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。

[解]

四边形ABCD的面积S=.

注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运

追踪训练一

1. △ABC中a=6,b=6 A=30°则边C=( C )

A、6　　 B、、12　 C、6或12　 D、6

[例2]△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。

[解]设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，

所以　 ，因为BE+EC=BC，所以，

所以　

当，。

注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。

[例3]在△ABC中，已知sinB=,

cosA=, 试求cosC的值。

[解]由cosA=，得sinA=,

∵ sinB<sinA, ∴ B中能是锐角

∴ cosB=,

又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=.

[例4]在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.

分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形

的技能和运算能力.

[解]设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

在△BDE中利用余弦定理可得：

BD²=BE²+ED²－2BE·EDcosBED，

[例5]在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.

　　 (Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若，求bc的最大值.

[解](Ⅰ)　　　　 =

=

= =

(Ⅱ) ∵

∴,

又∵

∴

　当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

[例1]根据下列条件判断三角形ABC的形状：

(1)　 若a²tanB=b²tanA；

(2)　 b²sin²C + c²sin²B=2bccosBcosC;

(3)　 (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.

[解](1)由已知及正弦定理得

(2RsinA)² = (2RsinB)²

2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B

2cos(A + B)sin(A – B)=0

∴ A + B=90^o 或 A – B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)由正弦定理得

sin²Bsin²C=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC≠0,

∴ sinBsinC=cosBcosC,

即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90^o, A=90^o,

故△ABC是直角三角形.

(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1　　 [2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos²- 1]=0

　 [2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin²=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0

△ABC是Rt△.

3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成30⁰角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为　 　

2．在△ABC中，若，则与的大小关系是　　 (　 A　 )

A　 大于　　　　　　　 B　 大于等于　

C　 小于　　　　　　　 D　 小于等于

解：

1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北30⁰方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？(　 B　 )

A　 50　　　　　　 B 　

C　 　　　　　　D　

3．在△ABC中，若，B=450，△ABC的面积为2，那么，△ABC的外接圆直径为

[选修延伸]

[例3]中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，

①　　　 求最大角的余弦值；

②　 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

[解]①设三边， 且，

∵为钝角，　

∴，

解得，

∵， ∴或，但时不能构成三角形应舍去，

当时，；

②设夹角的两边为，，

所以，，当时，．

追踪训练二

2. 从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和

45°，∠BAC＝45°，求这两个点之间的距离．

答案：

1. 如图，用两根绳子牵引重为F₁＝100N的物体，两根绳子拉力分别为F₂，F₃，保持平衡．如果F₂＝80N，F₂与F₃夹角α＝135°．

(1)求F₃的大小(精确到1N)；

(2)求F₃与F₁的夹角β的值

(精确到0.1°)．

答案：(1)　

(2)