4．两游艇自某地同时出发，一艇以10km／h的速度向正北行驶，另一艇以7km／h的速度向北偏东45°的方向行驶，问：经过40min，两艇相距多远？

略解：两艇相距4.71km

[选修延伸]

[例4]在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。

(1) 求角C的度数；

(2) 求的长；

(3)求△ABC的面积。

解：(1) 　

　 (2)因为，是方程的两根，所以

　 (3)

[例5]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：

。

证明：由余弦定理知：

，

则

，

整理得:

　，

又由正弦定理得:

，　　 ，

追踪训练二

3．在△ABC中，已知，试求∠C的大小．

略解：

2．若三条线段的长为5，6，7，则用这三条线段(　B　)　　　　　　　　A．能组成直角三角形

B．能组成锐角三角形

C．能组成钝角三角形　

D．不能组成三角形

1．在△ABC中，

(1)已知A＝60°，b＝4，c＝7，

求a；

(2)已知a＝7，b＝5，c＝3，求A．

略解：(1)a

略解：(2)

2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

[精典范例]

[例1]在中，

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求(精确到)．

[解](1)由余弦定理，得，

所以　 ．

(2)由余弦定理，得，

所以，．

点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

[例2]两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得

，求两地之间的距离(精确到)．

[解]由余弦定理，得

所以，

答 两地之间的距离约为．

[例3]用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．

[证]当为锐角时，，由余弦定理，得，

即　 ．

同理可证，当为钝角时，

点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．

追踪训练一

1．余弦定理：

(1)，，.

(2) 变形：，，

3．　 能初步运用余弦定理解斜三角形．

[课堂互动]

自学评价

2．　 体会向量的工具性；

1．　 掌握余弦定理及其证明；

6．在△ABC中，

证明：.

证明：

　由正弦定理得：