2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。

[课堂互动]

自学评价

运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：

①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；

④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

[精典范例]

[例1]作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向(精确到).

[解]应和合力平衡，所以和在同一直线上，

并且大小相等，方向相反.

如图1-3-3，在中，由余弦定理，得

再由正弦定理，得

，

所以，从而.

答 为，与之间的夹角是.

[例2]半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？

分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.

[解]设.在中，由余弦定理，得.

于是，四边形的面积为

.

因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.

追踪训练一

1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。

4．在⊿ABC中，若

，则B= 60⁰ 　。

提示：由条件知，

，

3．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是　 (　 C　 )

A　 　　　B　 　　

C　 　　D　

提示：分边是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。

2．有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为30⁰时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为(　 B )

A　 72 m　　　　　　　 B　 86 m　

C　 102 m　　　　　　 D　 118 m

1．在⊿ABC中，已知A=，且，则C的值为(　 C　 )

A　 4　 B　 9　　 C　 4或9　　 D　 无解

3．如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，求这两个航标间的距离．

答案：这两个航标间的距离是600m.

[选修延伸]

[例4]三角形ABC中有两个角分别为30⁰和45⁰， ，求⊿ABC的面积。

[解]由条件知三角形的第三个角为105⁰，设三角形外接圆半径为，则

.

追踪训练二

2．如图，货轮在海上以40nmile／h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，其方位角∠NBA＝110°，在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需航行0．5h，求C到灯塔A的距离．　

答案：nmile

1．　　 曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置．当OA自OB按顺时针方向旋转α角时，P和Q之间的距离是xcm．已知OA＝25cm，AP＝125cm，根据下列条件，求x的值(精确到0．1cm)：　　　　　　　　　　　　　(1)α＝50°；　(2)α＝135°.

答案：(1)cm　

(2)cm

2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：

①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；

②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；

④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

[精典范例]

[例1]为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离(精确到).

[解]

在中，，，则.又，

由正弦定理，得

.在中，，，

则.又，

由正弦定理，得

在中，

由余弦定理，得

　　 ，

所以

答 两点之间的距离约为.

[例2]某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到，时间精确到).

[解]设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，

则，，又，.

由余弦定理，得

，

即

化简，得

，

解得(负值舍去).

由正弦定理，得

所以，

方位角为.

答　 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.

[例3]某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.

[解]设，船的速度为，则，.

在中，，.

在中，，

.

在中，，

，

，

船的速度.

追踪训练一