1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

　(Ⅰ)求证：平面；　 　　

(Ⅱ)求到平面的距离；

　(Ⅲ)求二面角的大小.

(Ⅰ)证明　 如图,取的中点,则,∵,∴,

又平面,以为轴建立空间坐标系,

则,,,,,,

,,由,知,

又,从而平面.

　(Ⅱ)解　 由,得.设平面的法向量

为,,,,

设,则

∴点到平面的距离.

　(Ⅲ)解 　设面的法向量为,,,

∴

设,则,故,

根据法向量的方向可知二面角的大小为.

5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．

(1)求证：四点共面；(4分)；(2)若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；(4分)；(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

证明：(1)建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．

(2)如图，设，则，而，由题设得，

得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．

(3)设向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或(为锐角)．

于是．　　　　　　 故．

2007-2008年联考题

4.如图，在三棱锥中，，，．

(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小；(Ⅲ)求点到平面的距离．

解法一：(Ⅰ)取中点，连结．，．，．

，平面．平面，．

(Ⅱ)，，．又，．

又，即，且，平面．取中点．连结．

，．是在平面内的射影，．

是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面，平面平面．过作，垂足为．

平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．

由(Ⅰ)知，又，且，平面．平面，．

在中，，，

．． 点到平面的距离为．

解法二：(Ⅰ)，，．又，．

，平面．平面，．

(Ⅱ)如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．

设．，，．取中点，连结．

，，，．是二面角的平面角．

，，，

．二面角的大小为．

(Ⅲ)，在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如(Ⅱ)建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．

点到平面的距离为．

3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于　　　　

答案 .

2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为(　　 )A.　B.　C.　D.

答案 C

1. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M 　②弦AB、CD可能相交于点N　③MN的最大值为5　 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　　 　

　A．1个　 　　　　B．2个　　 　　　　C．3个　　 　　　　D．4个

答案 C

6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知

等腰直角三角形，其中∠=90º，．

点A、D分别是、的中点，现将△沿着边

折起到△位置，使⊥，连结、．

(1)求证：⊥；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

(1)证明　 ∵点A、D分别是、的中点，

∴.　　　　　　　

∴∠=90º.

∴.

∴ ,　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵,

∴⊥平面.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵平面,

∴.　　　　　　　

(2)解 　建立如图所示的空间直角坐标系．

则(－1，0，0)，(－2，1，0)，(0，0，1).

∴=(－1，1，0)，=(1，0，1),　　　

设平面的法向量为=(x，y，z)，则：

，　　　　　　　　

令，得，

∴=(1，1，－1).

显然，是平面的一个法向量，=()．　　　

∴cos<，>=．　

∴二面角的平面角的余弦值是.　　　　

9月份更新

5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，

已知平面，平面，△为

等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

设，建立如图所示的坐标系，则

.

∵为的中点，∴.　　　 　　　

　(1) 证明 　，　　　

∵，平面，∴平面.　 　

　(2) 证明　 ∵，　

∴，∴. 　　　　　

∴平面，又平面，

∴平面平面.　　　　　　　　　　　　　　　　

　(3) 解 　设平面的法向量为，由可得：

　 ，取. 　　　　　

　 　又，设和平面所成的角为，则

　 .

∴直线和平面所成角的正弦值为. 　　　

4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，

在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(1)求证：平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(3)求点E到平面ACD的距离．

　 ⑴ 证明　 连结OC

，．

在中，由已知可得

而， 　

即　

∴平面．

　 (2)解 　以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

，　

∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．

⑶解 　设平面ACD的法向量为则

，

∴，令得是平面ACD的一个法向量．

又 ∴点E到平面ACD的距离　 ．

3.(厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．

(Ⅰ)求DH与所成角的大小；

(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小．

解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．

设

则，．连结，．

设，由已知，

由

可得．解得，

所以．(Ⅰ)因为，

所以．即DH与所成的角为．

(Ⅱ)平面的一个法向量是．

因为， 所以．

可得DH与平面所成的角为．