14.(2007四川)已知函数f(x)=x²－4，设曲线y＝f(x)在点(x_n，f(x_n))处的切线与x轴的交点为(x_n+1,u)(u,N ⁺)，其中为正实数.

(Ⅰ)用x_x表示x_n+1；

(Ⅱ)若a₁=4，记a_n=lg，证明数列{a₁}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；

(Ⅲ)若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n<3.

解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

(Ⅰ)由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：．

即．

令，得．

即．

显然，∴．

(Ⅱ)由，知，同理．

　　故．

从而，即．所以，数列成等比数列．

故．

即．

从而

所以

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，

∴

∴

当时，显然．

当时，

∴

．

　　综上，．

13.(2007浙江)已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

(I)求及 (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

(I)解：方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；

当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

(Ⅱ)＝．

12.(2007湖南)已知()是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

(I)证明：数列()是常数数列；

(II)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

(III)证明：当时，弦()的斜率随单调递增

解：(I)当时，由已知得．

因为，所以．　　　　　　　 　…… ①

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……②

由②－①得．　　　　　　　　　　　　　　 …… ③

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……　 ④

由④－③得，　　　　　　　　　　　　　　　　 …… ⑤

所以，即数列是常数数列．

(II)由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递增数列且对任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

(III)解法一：弦的斜率为

任取，设函数，则

记，则，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数，

所以时，，从而，所以在和上都是增函数．

由(II)知，时，数列单调递增，

取，因为，所以．

取，因为，所以．

所以，即弦的斜率随单调递增．

解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，

所以，．

故，即弦的斜率随单调递增．

11.(2008山东卷)将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a₁

a₂ a₃

a₄ a₅　 a₆

a₇　 a₈　 a₉ a₁₀

_……

记表中的第一列数a_1，a_2，a_4，a_7，…构成的数列为{b_n},b₁=a₁=1. S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足＝1=(n≥2).

(Ⅰ)证明数列{}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

10.(2008全国I)设函数．数列满足，．

(Ⅰ)证明：函数在区间是增函数；

(Ⅱ)证明：；

(Ⅲ)设，整数．证明：．

(Ⅰ)证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

(Ⅱ)证明：(用数学归纳法)(i)当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

(ⅱ)假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数，恒成立.

　(Ⅲ)证明：由．可

1，　　 若存在某满足，则由⑵知：

2，　　 若对任意都有，则

_，即成立.

9．(2006广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；(答案用表示).

答案　 10，

8.(2007重庆)设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则_____.

答案　 18

7.(2008湖北)观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2()时，　　　　　

　　　　　 .

答案　 　　0

6.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2　 3

4　 5　 6

7　 8　 9　 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 　　　　　．

答案　　

5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是(　　　 )　　

A. 4　　　　　　　　　　　　　　　　 B.5.

C.6　　　　　　　　　　　　　　　　 D.7

答案　 C