例4: 证明幂函数在上是增函数．

分析：直接根据函数单调性的定义来证明．

[解]证：设，

则

　 即

此函数在上是增函数

追踪训练二

1．下列函数中，在区间上是单调增函数的是　　　　　　　　　　　 ( B　 )

A．　 B．

C．　　　　 D．

例3：已知，求的取值范围．

[解]在同一坐标系中作出幂函数和的图象，可得的取值范围为．

点评:数形结合的运用是解决问题的关键．

例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

[解]原方程可化为：

即

令，则方程等价于

若原方程的所有解都大于1，则方程(*)的所有解都大于0，则

解得：

思维点拔：

(1)有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又是用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。

(2)换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二

1．　 已知方程

(1)若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．

(2)若方程无实数根，求的取值范围 ．

答案：(1)

　　 (2)

3．图象略函数的图象向右平移2个单位得到的图象。

[选修延伸]

例4: 已知，比较，的大小。

[分析]：由条件可得：

；

所以，，则。

[变式]：已知，则，的大小又如何？

[解]∵，

　 ∴，

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，，

∴，， ∴．

综上所述，，的大小关系为或或

思维点拔：

对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。数形结合是解决函数问题的重要思想方法。

追踪训练二

1比较下列各组值的大小．

　，，

答案：

2．(1)　 (2)

3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。

答案：1。(1)；

(2)

2.解下列不等式：

(1)　　 (2)

1. 比较下列各组值的大小：

(1)，；　　　　

(2)，，；

4.说明：上述变换称为平移变换。

[精典范例]

例1：说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：

(1)； (2)；　

(3) ；(4)

分析：由函数式出发分析它与的关系，再由的图象作出相应函数的图象。

[解](1)

图象(略)

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

(2)

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

(3)

由图象知：单调减区间为。

(4)

由图象知：单调减区间为。

点评:

(1)上述变换称为对称变换。一般地：

①；

②；

③；

④

(2)练习：怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？

(1)；

(2)；

答案：(1)由的图象先向2左平移1个单位，保留上方部分的图象，并把轴下方部分的图象翻折上去得到

的图象。

(2)的图象是关于轴对称的图象。

例2：求下列函数的定义域、值域：

(1)； (2)； (3)(且)．

分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。

[解](1)由得

的定义域为，值域为

(2)由得，的定义域为

　　 由，令,则，

的值域为

(3)由得，即定义域为

设则

当时在上是单调增函数，的值域为

当时在上是单调减函数，的值域为

点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。

例3：设f (x)＝lg(ax²－2x+a),

　 (1) 如果f (x)的定义域是(－∞, +∞)，求a的取值范围；

　 (2) 如果f (x)的值域是(－∞, +∞)，求a的取值范围．

　[解](1) ∵f (x)的定义域是(－∞, +∞),

　 ∴ 当x∈(－∞, +∞)时,都有ax²－2x+a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a²<0, ∴a>1.

　 (2) ∵f (x)的值域是(－∞, +∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, +∞).

　 要求ax²－2x+a可以取到大于零的一切值，∴ a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,

　 解得0≤a≤1.

点评:第一小题相当于ax²－2x+a>0,恒成立，；

第二小题是要ax²－2x+a 能取到大于零的一切值，两题都利用二次函数的性质求解，要能正确区分这两者的区别。

追踪训练一

3. 函数()的图象是由函数的图象当时先向左平移 b个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向左平移 b个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当时先向右平移| b|个　 单位，再向下平移|c| 个单位得到。