例4:计算： ①，② ．

[解]解：①设　 则 ，　 ,　 ∴　 ∴

②方法同①　

例5：求 x 的值：

①；　　　

　②．

③

[解]

①　

②

但必须： ，　 ∴舍去 ，从而．

③　 ∴。

点评:本题的关键是根据对数的概念，将对数式还原成指数式，但要注意对数式中底数和真数的取值要求。

思维点拔：

要明确在对数式与指数式中各自的含义，在指数式中，是底数，是指数，是幂；在对数式中，是对数的底数，是真数，是以为底的对数，虽然在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求对数就是求中的指数，也就是确定的多少次幂等于。

追踪训练二

求下列各式中的x的值：

⑴log_x9=2；⑵lgx²= -2；

⑶log₂[log₂(log₂x)]=0

答案：(1)　 (2)

(3)

例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或(其中为常数)．已知4月份该产品的产量为万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．

　[解]

　(1)若选用二次函数,则可设为

　 由条件可得:

　 解得:

　 当时,(万件)

　 (2)若选用

　 　　解得

　 当时,(万件)

由(1)(2)可得选用较好.

追踪训练二

1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：)．

解：设新树苗的木材量为，

①若连续生长10年，木材量为

，

②生长5年重栽新树苗，木材量为

，

则．

∴，

生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．

例4: (1)求方程的近似解(精确到)；(2)求不等式的解集.

[解]方程可化为，

分别画出函数与函数的图象(1)由图象可以知道，方程的近似解为；(2)不等式的解集为.

点评:与指数函数有关的方程与不等式当用代数方法比较困难时，通常将它们拆成两个函数，通过观察函数的图象来求出结果.

追踪训练二

1．　 已知是定义在上的奇函数，且时，.

(1)　 求函数的解析式；(2)画出函数的图象；(3)写出函数单调区间及值域；(4)求使恒成立的实数的取值范围．

解：(1)∵，∴，

又当时，

，

∴.

(2)　 函数的图象为

(3)　 根据的图象知：的单调增区间为，；

值域为

.

(4)根据的图象知：使恒成立的实数的取值范围为．

例4: 求函数的定义域、值域、单调区间．

分析：原函数由函数与复合而成，求解时要统筹考虑．

[解]设，则，由于它们的定义域都是，所以函数的定义域为．

因为，

所以，又，

函数的值域为．

　 函数在是增函数，而在上是减函数，

所以设，则，

从而，即，

函数在是增函数，

同理：函数在是减函数，函数的增区间，

减区间是．

点评:形如的定义域与的定义域相同；求值域时要先确定的值域，再根据指数函数的性质确定的值域；

当时，与的单调性相同，

当时，与的单调性相反．

思维点拔：

(1)比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；(2)与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．

追踪训练二

1．求下列函数的定义域、值域：

(1) 　(2)

解：(1)　 ∴　

原函数的定义域是，

　　 令 则

　 ∴得，

所以，原函数的值域是．

(2)　 ∴　

原函数的定义域是，

　　 令　 则，

　　 在是增函数　　 ∴，

　　 所以，原函数的值域是．

3．设，，则()

　或　　

2．(　)

例4: 利用指数的运算法则，解下列方程：

(1)　 ；

(2).

分析：利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.

[解](1)原方程可化为：，

，，∴

原方程的解为.

(2)原方程可化为：，

∴，，

原方程的解为.

点评:将指数方程转化为一元一次或一元二次方程是解题的关键.

思维点拔：

(1)根式与分数指数幂运算要灵活地互化；(2)一般地在化简过程中，先将根式化为分数指数幂，然后利用同底运算性质进行运算.

追踪训练二

1．化简：

解：

．

3．若，则

．

2．在①；②；③；④()各式中中，有意义的是(　　)

①②　　①③　　①②③④　①③④

例4:解下列方程(1)；

(2)

分析：对原方程因式分解。

[解](1)原方程可化为，

∴，

原方程的根为。

(2)原方程可化为，

∵，∴，

，，

原方程的根为。

点评:通过因式分解把原方程转化为二项方程，再利用根式意义求解。

思维点拔：

(1)求根式的值时要注意使根式有意义的被开方数的取值范围；(2)求形如的根式的值时要分清的奇偶性．

追踪训练二

1．成立的条件是(　　)