7.(文)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.

(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD所成的角.

(1)证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则

A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，a)，· =(a，0，0)·(0，2a，－a)=0，又· =0，

∴⊥，⊥.∴PD⊥BE.

(2)解：∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，∴∠PDA=30°.

过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=a，EF=a，

∴E(0，a，a).

于是=(0，a，a).又C(a，a，0)，D(0，2a，0)，∴CD=(－a，a，0).

cos〈，〉===，

∴异面直线AE与CD所成的角是arccos.

(理)四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角，

(1)求证：CM∥面PAD；

(2)求证：面PAB⊥面PAD；

(3)求点C到平面PAD的距离.

分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.

如下图，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.

(1)证明：如图，建立空间直角坐标系.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°.

∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4.

得D(1，0，0)、B(0，2，0)、A(4，2，0)、P(0，0，2).

∵|MB|=3|PM|，

∴|PM|=1，M(0，，)，

　=(0，，)，=(－1，0，2)，=(3，2，0).

设=x+y(x、y∈R)，

则(0，，)=x(－1，0，2)+y(3，2，0)x=且y=，

∴= + .

∴、、共面.又∵C平面PAD，故CM∥平面PAD.

(2)证明：过B作BE⊥PA，E为垂足.

∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点.

∴E(2，，1)，=(2，－，1).

又∵·=(2，－，1)·(3，2，0)=0，

∴⊥，即BE⊥DA.

而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD.

∵BE面PAB，∴面PAB⊥面PAD.

(3)解：由BE⊥面PAD知，平面PAD的单位向量n₀==(2，－，1).

∴CD=(1，0，0)的点C到平面PAD的距离

d=|n₀·|=|(2，－，1)·(1，0，0)|=.

探究创新

6.已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.

(1)求证：AP⊥EF；

(2)求证：平面APE⊥平面APF；

(3)求异面直线PA和EF的距离.

(1)证明：如下图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.

∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.

(2)证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.

(3)解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，∵AP与面PEF垂直，PG平面PEF，

∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰Rt△PEF中，PE=PF=，∠EPF=90°，∴PG=EG=.

5.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和顶点D的距离.

解：如图，作BE⊥AC于E，

∵二面角B-AC-D为直二面角，BE⊥AC，

∴BE⊥平面ADC，DE平面ADC，BE⊥DE.

在Rt△ABC中，可得BE=，AE=，在△ADE中，DE²=AE²+AD²－2AD·AE·

cos∠EAD=+16－2··4·=.

在Rt△BDE中，BD=BE²+ED²=.

培养能力

4.在三棱锥P-ABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PA=PB=3 cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为.

解析：点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB⊥面ABC，高PD=2.

V=××4×2= .

答案： cm³

3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_____________.

解析：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，则V_水=V_柱－V=S·2a－(S)·2a=aS.设图甲中水面的高度为x，则S·x=aS，得x=a.

答案：

2.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角为

A.arccos　　　　 　 B.arccos　　　　　　　 C.arccos　　　　　　　　　 D.arccos

解法一：∵=+，= +，

∴·=(+)·(+)=·= .

而||= == = .同理，||=.

如令α为所求之角，则cosα===，∴α=arccos.应选D.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A(1，0，0)、M(1，，1)、C(0，1，0)、N(1，1，).

∴=(0，，1)，=(1，0，).

故·=0×1+×0+1×=，

||==，

||==.

∴cosα===.

∴α=arccos.

答案：D

1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为

A.180°　　　　　 　　 B.120°　　　　　　　　　　　 C.60°　　 　　　　　　　　　 D.45°

答案：C

4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.

解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R³= a³.

答案：a³

3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是

A.27　　 　　　　　　　 B.8　　 　　　　　　　　 C.8　　 　　　　　　　　 D.16

解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由2²+2²+x²=4²x=2，∴V=2×2×2=8.

答案：B