2.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.

1.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等等有着密切的关系.

9.有点难度哟！

已知函数f(x)满足2axf(x)=2f(x)－1，f(1)=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f(a_n).

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；

(3)若1+＜a₁＜(m为常数且m∈N，m≠1)，求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立.

解：(1)令x=1得2a=1，∴a=.

∴f(x)=.

(2)若a₁=3，由a₂==－1，a₃==，a₄==，

假设当n≥3时，0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=＜=12－a_n＞0.

从而a_n+1－a_n=－a_n=＞0a_n+1＞a_n.

从第2项起，数列{a_n}满足a_n＜a_n+1.

(3)当1+＜a₁＜时，a₂=，得＜a₂＜.

同理，＜a₃＜.

假设＜a_n－1＜.

由a_n=与归纳假设知＜a_n＜对n∈N^*都成立.

当n=m时，＜a_m，即a_m＞2.

∴a_m+1=＜0.

0＜a_m+2=＜＜1.

由(2)证明知若0＜a_n＜1，则0＜a_n+1=＜=1.

∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜a_n＜1成立.

●思悟小结

8.设f(x)=x²－bx+c，不等式f(x)＜0的解集是(－1，3)，若f(7+|t|)＞f(1+t²)，求实数t的取值范围.

解：∵f(x)＜0的解集是(－1，3)，

∴a＞0，f(x)的对称轴是x=1，且ab=2.

∴f(x)在［1，+∞)上单调递增.

又∵7+|t|≥7，1+t²≥1，

∴由f(7+|t|)＞f(1+t²)，得7+|t|＞1+t².

∴|t|²－|t|－6＜0，解得－3＜t＜3.

探究创新

7.已知二次函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)，不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0，f(2+cosβ)≤0.

(1)求证：b+c=－1；

(2)求证：c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值.

(1)证明：∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.

又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0，

∴f(1)=01+b+c=0b+c=－1.

(2)证明：∵b+c=－1b=－1－c，

∴f(x)=x²－(1+c)x+c=(x－1)(x－c).

∴x－c≤0，即c≥x恒成立.∴c≥3.

(3)解：∵f(sinα)=sin²α－(1+c)sinα+c=(sinα－)²+c－()²，

∴当sinα=－1时，f(sinα)的最大值为1－b+c.

由1－b+c=8与b－c=－1联立可得b=－4，c=3.

6.(2004年江西九校联考三月)已知函数f(x)=－+(x＞0).

(1)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并证明；

(2)解关于x的不等式f(x)＞0；

(3)若f(x)+2x≥0在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围.

解：(1)f(x)在(0，+∞)上为减函数，

∵(x)=－＜0，

∴f(x)在(0，+∞)上为减函数.

(2)由f(x)＞0得－+＞0，

即＜0.

①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}.

②当a＜0时，原不等式为＞0.

解集为{x|x＞0}.

(3)若f(x)+2x≥0在(0，+∞)上恒成立，

即－++2x≥0.∴≤+2x.

∵+2x≥4，∴≤4.

解得a＜0或a≥.

5.设p=(log₂x)²+(t－2)log₂x－t+1，若t在区间［－2，2］上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围.

解：p=(log₂x－1)t+(log₂x)²－2log₂x+1，∵t∈［－2，2］时p恒为正值，

∴

解得1＜log₂x＜3.∴2＜x＜8.

培养能力

4.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足①x＞1时，f(x)＜0；(2)f()=1；(3)对任意的x、y∈(0，+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，求不等式f(x)+f(5－x)≥－2的解集.

解：需先研究y=f(x)的单调性，任取x₁、x₂∈(0，+∞)且x₁＞x₂，则＞1.

f(x₁)=f(·x₂)=f()+f(x₂)，

∴f(x₁)－f(x₂)=f()＜0.

∴f(x)在(0，+∞)上为减函数.

又f(1)=f(1)+f(1)，则f(1)=0.

又∵f(1)=f(2)+f()=f(2)+1=0.

∴f(2)=－1.∴f(4)=2f(2)=－2.

∴原不等式等价于

解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}.

3.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=.

解析：设+=1，a、b∈N^*，则a=.

∴a+b=+b+1，b＞9时，

a+b=+b－9+10≥16.

=b－9，即b=12取等号，此时a=4.

b＜9无解.∴a=4，b=12.

答案：4　 12

2.如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是____________.

解析：画出y₁=|x+1|，y₂=kx的图象，由图可看出0≤k≤1.

答案：0≤k≤1