1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.

5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.

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教学点睛

4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.

3.解不等式应用问题的三个步骤：

(1)审题，必要时画出示意图；

(2)建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；

(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.

2.建立不等式的主要途径有：(1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性.

1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.

9.有点难度哟！

已知a＞b＞0，求a²+的最小值.

解：∵b(a－b)≤()²=，

∴a²+≥a²+≥16.

当且仅当，即时取等号.

深化拓展

a＞b＞0，求b(a－b)·的最大值.

提示：b(a－b)≤.

答案：4

●思悟小结

8.已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)且当x≤1时，f(x)≥0，当1≤x≤3时，f(x)≤0恒成立.

(1)求b、c之间的关系式；

(2)当c≥3时，是否存在实数m使得g(x)=f(x)－m²x在区间(0，+∞)上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：(1)由已知f(1)≥0与f(1)≤0同时成立，则必有f(1)=0，故b+c+1=0.

(2)假设存在实数m，使满足题设的g(x)存在.

∵g(x)=f(x)－m²x=x²+(b－m²)x+c开口向上，且在［，+∞)上单调递增，

∴≤0.∴b≥m²≥0.

∵c≥3，∴b=－(c+1)≤－4.

这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.

探究创新

7.(2003年全国)已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

解：函数y=c^x在R上单调递减0＜c＜1.

不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.

∵x+|x－2c|=

∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.

∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞.

如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤.

如果P不正确，且Q正确，则c≥1.

∴c的取值范围为(0，］∪［1，+∞).

6.(2004年春季上海)已知实数p满足不等式＜0，试判断方程z²－2z+5－p²=0有无实根，并给出证明.

解：由＜0，解得－2＜x＜－.

∴－2＜p＜－.

∴方程z²－2z+5－p²=0的判别式Δ=4(p²－4).

∵－2＜p＜－，＜p²＜4，

∴Δ＜0.

由此得方程z²－2z+5－p²=0无实根.

培养能力