1.若=xi+yj+zk，那么(x，y，z)叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.

9.7　 空间向量及其坐标运算(B)

●知识梳理

2.空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的.

拓展题例

[例1] 下列命题中不正确的命题个数是

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有++ +=0　 ②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件　 ③若a、b共线，则a与b所在直线平行　 ④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面

A.1　　　 　　　　　 　　　 B.2　　　 　　　　　　　　　 C.3　　　 　　　　　　　　　 D.4

解析：易知只有①是正确的，对于④，若O平面ABC，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面.

答案：C

[例2] A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.

解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点.

现在=－ = － = (－)== (－)=

(－ )=(－)=.

∴=||= ||= BD=.

说明：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化.

[例3] 设A、B、C及A₁、B₁、C₁分别是异面直线l₁、l₂上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.

证明： = ， = ，

∴=2，=2.

又∵ = (+)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

A、B、C及A₁、B₁、C₁分别共线，

∴=λ=2，=ω=2ω.

代入(*)式得= (2λ+2ω)=λ+ω，∴、、共面.

∴M、N、P、Q四点共面.

1.要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积，掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件.

2.应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算.

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教学点睛

1.若表示向量a₁，a₂，…，a_n的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a₁+a₂+a₃+…+a_n=0.

8.(2004年全国Ⅰ，理20)如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

(1)求点P到平面ABCD的距离；

(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小.

(1)解：如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.∵PA=PD，∴OA=OD.

于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，∴PO=PE·sin60°=

×=，即点P到平面ABCD的距离为.

(2)解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P(0，0，)，B(0，，0)，PB中点G的坐标为(0，，)，连结AG.

又知A(1，，0)，C(－2，，0).

由此得到 =(1，－，－)，

　=(0，，－)，=(－2，0，0).

于是有·=0，·=0，

∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角.

于是cosθ==－，

∴所求二面角的大小为π－arccos.

解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥

BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，

在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== .

又∠AGF=π－∠GAE，

∴所求二面角的大小为π－arctan.

●思悟小结

7.在空间四边形ABCD中，求证：·+· +·=0.

证法一：把拆成+后重组，·+·+·=( +

)·+·+·=·+·+·+·=·(+)+·(+)=·+· = ·(+)=·0=0.

证法二：如下图，设a=，b= ，c=，则·+·+·=(b－a)·(－c)+(c－a)·b+(－a)·(c－b)=－b·c+a·c+c·b－a·b－a·c+a·b=0.

评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于a、b、c的式子，化简时的思路方向较清楚.

探究创新

6.沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.

解：用a、b、c分别代表棱、、上的三个单位向量，则f₁=a，f₂=2b，f₃=3c，则f=f₁+f₂+f₃=a+2b+3c，

∴|f|²=(a+2b+3c)·(a+2b+3c)=|a|²+4|b|²+9|c|²+4a·b+6a·c+12b·c=1+4+9+4|a||b|cos〈a，b〉

+6|a||c|cos〈a，c〉+12|b||c|cos〈b，c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.

∴|f|=5，即所求合力的大小为5，

且cos〈f，a〉====.

同理，可得cos〈f，b〉=，cos〈f，c〉=.

5.直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C，求证：AB₁=A₁C.

证明：∵==·

∴AB=AC.又A₁A=B₁B，∴A₁C=AB₁.

评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.

培养能力