2.等差数列中，已知五个元素a₁，a_n，n，d，S_n中的任意三个，便可求出其余两个.

1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.

9.有点难度哟！

已知f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n为正偶数，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列，又f(1)=n²，f(－1)=n.试比较f()与3的大小.

解：∵f(1)=a₁+a₂+…+a_n=n².

依题设，有=n²，故a₁+a_n=2n，

即2a₁+(n－1)d=2n.

又f(－1)=－a₁+a₂－a₃+a₄－a₅+…－a_n－1+a_n=n，

∴·d=n，有d=2.进而有2a₁+(n－1)2=2n，解出a₁=1.

于是f(1)=1+3+5+7+…+(2n－1).

f(x)=x+3x²+5x³+7x⁴+…+(2n－1)xⁿ.

∴f()=+3()²+5()³+7()⁴+…+(2n－1)()ⁿ.　　　　　　　　　　　 　 ①

①两边同乘以，得

f()=()²+3()³+5()⁴+…+(2n－3)()ⁿ+(2n－1)()ⁿ⁺¹.　　　 　 ②

①－②，得f()=+2()²+2()³+…+2()ⁿ－(2n－1)()ⁿ⁺¹，

即f()=++()²+…+()^n－1－(2n－1)()ⁿ⁺¹.

∴f()=1+1+++…+－(2n－1)=1+－(2n－1)=1+2－－(2n－1)＜3.

∴f()＜3.

●思悟小结

8.有点难度哟！

(理)设实数a≠0，函数f(x)=a(x²+1)－(2x+)有最小值－1.

(1)求a的值；

(2)设数列{a_n}的前n项和S_n=f(n)，令b_n=，证明:数列{b_n}是等差数列.

(1)解：∵f(x)=a(x－)²+a－，由已知知f()=a－=－1，且a＞0，解得a=1，a=－2(舍去).

(2)证明：由(1)得f(x)=x²－2x，

∴S_n=n²－2n，a₁=S₁=－1.

当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=n²－2n－(n－1)²+2(n－1)=2n－3，a₁满足上式即a_n=2n－3.

∵a_n+1－a_n=2(n+1)－3－2n+3=2，

∴数列{a_n}是首项为－1，公差为2的等差数列.

∴a₂+a₄+…+a_2n=

==n(2n－1)，

即b_n==2n－1.

∴b_n+1－b_n=2(n+1)－1－2n+1=2.

又b₂==1，

∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列.

(文)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{a_n}，则

a_n=780+(n－1)×(－20)=800－20n.

由a_n≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18.

当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.

到乙商场购买每台约售价为800×75%=600元.

价差(800－20n)n－600n=20n(10－n).

当n＜10时，600n＜(800－20n)·n；

当n=10时，600n=(800－20n)·n；

当10＜n≤18时，(800－20n)＜600n；

当n＞18时，440n＜600n.

答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.

探究创新

7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n·S_n－1=0(n≥2)，a₁=.

(1)求证：{}是等差数列；

(2)求a_n的表达式.

(1)证明：∵－a_n=2S_nS_n－1，

∴－S_n+S_n－1=2S_nS_n－1(n≥2)，S_n≠0(n=1，2，3…).

∴－=2.

又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列.

(2)解：由(1)，=2+(n－1)·2=2n，∴S_n=.当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=－=－(或n≥2时，a_n=－2S_nS_n－1=－)；

当n=1时，S₁=a₁=.

∴a_n=　　

6.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S₁，S₂，S₃，…，S₁₂中哪一个最大，并说明理由.

解：(1)a₃=12，∴a₁=12－2d，解得a₁₂=12+9d，a₁₃=12+10d.由S₁₂＞0，S₁₃＜0，即＞0，且＜0，解之得－＜d＜－3.

(2)由a_n=12+(n－3)d＞0，由－＜d＜－3，易知a₇＜0，a₆＞0，故S₆最大.

培养能力

5.(2004年全国，文17)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50.

(1)求通项{a_n}；

(2)若S_n=242，求n.

解：(1)由a_n=a₁+(n－1)d，a₁₀=30，a₂₀=50，

得方程组a₁+9d=30，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

a₁+19d=50.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②解得a₁=12，d=2，故a_n=2n+10.

(2)由S_n=na₁+d及S_n=242，得方程12n+×2=242，解得n=11或n=－22(舍).

4.将正偶数按下表排成5列：

那么2004应该在第______________行第______________列.

解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.

解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.

答案：251　 3

3.在等差数列{a_n}中，公差为，且a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=60，则a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=_________.

解析：由等差数列的定义知a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+50d=60+25=85.

答案：85

2.等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂+a₄+a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{S_n}中也为常数的项是

A.S₇　　 　　　　　　　　　　　 B.S₈ C.S₁₃　　　　　　　　　　　　　　 D.S₁₅

解析：设a₂+a₄+a₁₅=p(常数)，

∴3a₁+18d=p，即a₇=p.

∴S₁₃==13a₇=p.

答案：C