1.(2004年全国卷Ⅳ，3)过点(－1，3)且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为

A.2x+y－1=0　　　　　　　　　　　　　 B.2x+y－5=0

C.x+2y－5=0　　　　　　　　　　　　　 D.x－2y+7=0

解析：由已知直线的斜率为，

知所求直线的斜率为－2.

由点斜式得所求直线方程为2x+y－1=0.

答案：A

5.若直线l₁：ax+2y+6=0与直线l₂：x+(a－1)y+(a²－1)=0平行且不重合，则a的值是____________.

解析：利用两直线平行的条件.

答案：－1

●典例剖析

[例1] 等腰三角形一腰所在直线l₁的方程是x－2y－2=0，底边所在直线l₂的方程是x+y－1=0，点(－2，0)在另一腰上，求该腰所在直线l₃的方程.

剖析：依到角公式求出l₃的斜率，再用点斜式可求l₃的方程.

解：设l₁、l₂、l₃的斜率分别为k₁、k₂、k₃，l₁到l₂的角是θ₁，l₂到l₃的角是θ₂，则k₁=，k₂=－1，tanθ₁===－3.

∵l₁、l₂、l₃所围成的三角形是等腰三角形，

∴θ₁=θ₂，tanθ₁=tanθ₂=－3，

即=－3，=－3，解得k₃=2.

又∵直线l₃经过点(－2，0)，

∴直线l₃的方程为y=2(x+2)，

即2x－y+4=0.

评述：本题根据条件作出合理的假设θ₁=θ₂，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l₃的方程.

思考讨论　　

用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?

[例2] 已知两直线l₁：x+m²y+6＝0，l₂：(m－2)x+3my+2m＝0，当m为何值时，l₁与l₂(1)相交；(2)平行；(3)重合?

剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.

解：当m=0时，l₁：x+6＝0，l₂：x＝0，

∴l₁∥l₂.

当m=2时，l₁：x+4y+6＝0，l₂：3y+2＝0，

∴l₁与l₂相交.

当m≠0且m≠2时，由＝得m=－1或m=3，由＝得m＝3.

故(1)当m≠－1，m≠3且m≠0时，l₁与l₂相交；

(2)当m＝－1或m＝0时，l₁∥l₂；

(3)当m＝3时，l₁与l₂重合.

评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.

深化拓展　 　

不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?

[例3] 已知点P(2，－1)，求：

(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；

(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?

(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.

解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件.

此时l的斜率不存在，其方程为x=2.

若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x－2)，即kx－y－2k－1=0.

由已知，得=2，解之得k=.

此时l的方程为3x－4y－10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.

(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k_l·k_OP =－1，

所以k_l =－=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x－2)，即2x－y－5=0，

即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.

(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.

评述：第(3)问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如(3)解法二：由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是6，因此，设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y+1=k(x－2)，即kx－y－2k－1=0.原点O到它的距离d==6，即32k²－4k+35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.

●闯关训练

夯实基础

4.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，所得直线方程是x－y－2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x+y－1=0，则直线l的方程是____________.

解析：∵直线l经过直线x－y－2=0和2x+y－1=0的交点(1，－1)，且又与直线2x+　　　 y－1=0垂直，

∴l的方程为y+1=(x－1)，即x－2y－3=0.

答案：x－2y－3=0

3.直线x+y－1=0到直线xsinα+ycosα－1=0(＜α＜)的角是

A.α－　　　　　　　　　　　　　　 B. －α

C.α－　　　　　　　　　　　　　 D. －α

解析：由tanθ=

==tan(－α)=tan(－α)，

∵＜α＜，－＜－α＜0，

＜－α＜π，∴θ=－α.

答案：D

2.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是

A.－2　　　　　　 B.－1　　　　　　 C.0　　　　　　　　 D.1

2x－y=10，

得交点坐标为(4，－2)，

代入ax+2y+8=0，得a=－1.

答案：B

1.点(0，5)到直线y=2x的距离为

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

解析：a==.

答案：B

3.点P(x₀，y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=.

两平行线l₁：Ax+By+C₁=0和l₂：Ax+By+C₂=0之间的距离d=.

●点击双基

2.相交

(1)两条直线l₁：y=k₁x+b₁和l₂：y=k₂x+b₂相交得到两类角：“到角”和“夹角”.

①到角：直线l₁到l₂的角是指l₁按逆时针方向旋转到与l₂重合时所转的角.

设l₁到l₂的角为θ₁，l₂到l₁的角为θ₂，则有θ₁∈(0，π)，θ₂∈(0，π)，且θ₁+θ₂=π.

当k₁k₂≠－1时，有公式tanθ₁=.

当k₁k₂=－1时，l₁⊥l₂，θ₁=θ₂=.

②夹角：l₁到l₂的角θ₁和l₂到l₁的角θ₂中不大于90°的角叫l₁和l₂的夹角.设为α，则有α∈(0，］，当α≠时，有公式tanα=||.

如果直线l₁和l₂中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.

A₂x+B₂y+C₂=0　

相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行方程组无解.

重合方程组有无数解.

1.平行与垂直

若直线l₁和l₂有斜截式方程l₁：y=k₁x+b₁，l₂：y=k₂x+b₂，则

(1)直线l₁∥l₂的充要条件是k₁=k₂且b₁≠b₂.

(2)直线l₁⊥l₂的充要条件是k₁·k₂=－1.

若l₁和l₂都没有斜率，则l₁与l₂平行或重合.

若l₁和l₂中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l₁⊥l₂.

7.2　 两直线的位置关系

●知识梳理