1.平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=45°，那么点P到平面α的距离是

A. 　　　　　　　　　　 B.　　 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　 D.

解析：cos∠POM=cos∠POH·cos∠MOH，

∴= cos∠POH.

∴cos∠POH=.

∴sin∠POH=.

∴PH=PO·sin∠POH=3×=.

答案：A

5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.

解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=.

答案：　

●典例剖析

[例1] 设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，求D到平面ABC的距离.

解：设平面ABC的法向量n=(x，y，z)，

∵n·=0，n·=0，

∴

即

令z=－2，则n=(3，2，－2).

∴cos〈n，〉=

.

∴点D到平面ABC的距离为d，

d=||·|cos〈n，〉|==.

思考讨论

求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈n，〉|.

[例2] 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、O、O₁分别是A₁B、AC、A₁C₁的中点，且OH⊥O₁B，垂足为H.

(1)求证：MO∥平面BB₁C₁C；

(2)分别求MO与OH的长；

(3)MO与OH是否为异面直线A₁B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离.

(1)证明：连结B₁C，∵MO是△AB₁C的中位线，∴MO∥B₁C.∵B₁C平面BB₁C₁C，

∴MO∥平面BB₁C₁C.

(2)解：MO=B₁C=a，

∵OH是Rt△BOO₁斜边上的高，BO=a，

∴OH=a.

(3)解：MO不是A₁B与AC的公垂线，MO∥B₁C，△AB₁C为正三角形，∴MO与AC成60°角.∵AC⊥BD，AC⊥OO₁，∴AC⊥面BOO₁.∵OH面BOO₁，∴OH⊥AC，OH⊥A₁C₁.∵OH⊥O₁B，A₁C₁∩O₁B=O₁，∴OH⊥面BA₁C₁，OH⊥A₁B.∴OH是异面直线A₁B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离.

特别提示

在立体几何的计算或证明中，常需要计算直角三角形斜边上的高，据面积关系得它等于直角边的积除以斜边，应作为常识记熟并可直接应用.立体几何问题求解，总体上可分为几何法与代数法，要注意选择最简方法求解.本题(3)利用代数向量方法解答也比较简单.

[例3] 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.

求：(1)与所成的角；

(2)P点到平面EFB的距离；

(3)异面直线PM与FQ的距离.

解：建立空间直角坐标系，使得D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、M(0，0，a)、E(a，0，a)、F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P(，0，)、

Q(，，0).

(1)∴=(－，0，)，=(，－，－a)，·=(－)×+0+×(－a)=－a²，且||= a，||= a.

∴cos〈，〉===－.

故得两向量所成的角为150°.

(2)设n=(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，∴n⊥，n⊥.又=(－a，a，0)， =(0，a，－a)，即有得其中的一组解∴n=(，，)， =(，0，).

设所求距离为d，则d=|·n|= a.

(3)设e=(x₁，y₁，z₁)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=(－，0，)，=(，－，－a)，得求得其中的一个e=(，－，)，而 =(0，a，0).设所求距离为m，则m=|·e|=|－ a|=a.

[例4] 如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.

(1)求证：AB⊥PQ；

(2)求点B到平面α的距离；

(3)设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.

(1)证明：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD.

∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用，∴△ACD≌△BCD.∴∠ADC=∠BDC=90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD，则AB⊥PQ.

(2)解：由(1)知，∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角，∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，

∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，则BE即为B到平面α的距离.

BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a.

(3)解：连结ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR与α所成的角，即∠BRE=45°，则有BR== a.易知△ABD为正三角形，AB=AD=BD=a.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=.

在△BCR中，设CR=x，由余弦定理得(a)²=x²+a²－2ax·，求得x₁=，x₂=(舍去，∵CR<AC=a)，故CR=.

●闯关训练

夯实基础

4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.

解析：CD=.

答案：5或

3.在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，则点A₁到平面MBD的距离是

A. a　　　　　　　　　　　　　　 B. a　　　　　　　　　　　 C. a　　　　　　　　　　　 D. a

解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.

V_A-MBD=V_B-AMD.易求d=a.

答案：D

2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是

A.13　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.11　　　　　　　　　　　　　　 C.9　　　　　　　　　　　　　　　 D.7

解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，

∵PA=PB=PC，

∴OA=OB=OC.

∴O是△ABC的外心.

∴OA===5.

∴PO==11为所求.∴选B.

答案：B

1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为

A.　　　 　　　　　　　 B.　　 　　　 　　　　　 C.　 　　　 　　　　　　 D.1

解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.∴选D.

答案：D

5.借助向量求距离

(1)点面距离的向量公式

平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

(2)线面、面面距离的向量公式

平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

(3)异面直线的距离的向量公式

设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.

●点击双基

4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.

3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.

2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.