3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.

2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.

1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：

(1)弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；

(2)在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.

9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ=arctan)的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.(如下图所示)

(1)求出发后3 h两船相距多少海里?

(2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?

解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.

设在t时刻甲、乙两船分别在P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则

由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=，

x₂=10tsinθ=10t，

y₂=10tcosθ－40=20t－40.

(1)令t=3，P、Q两点的坐标分别为(45，45)，(30，20).

|PQ|===5，

即两船出发后3 h时，两船相距5 n mile.

(2)由(1)的解法过程易知

|PQ|=

=

=

=≥20.

∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20，

即两船出发4 h时，相距20 n mile为两船最近距离.

●思悟小结

8.有点难度哟！

(2004年广州综合测试)已知曲线x²+2y²+4x+4y+4=0按向量a=(2，1)平移后得到曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点D(0，2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围.

解：(1)原曲线即为(x+2)²+2(y+1)²=2，则平移后的曲线C为x²+2y²=2，

即+y²=1.

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则

由于点M、N在椭圆x²+2y²=2上，则

即

消去x₂²得，2λ²+8λy₂+8=2λ²+4λ+2，

即y₂=.

∵－1≤y₂≤1，∴－1≤≤1.

又∵λ＞0，故解得λ≥.

故λ的取值范围为［，+∞).

思考讨论

本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x²+2y²=2联立，利用韦达定理能求解吗?(不要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下.

探究创新

7.(2004年福建，17)设函数f(x)=a·b，其中a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.

(1)若f(x)=1－，且x∈［－，］，求x；

(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|＜)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

解：(1)依题设f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+)，

由1+2sin(2x+)=1－，得

sin(2x+)=－.

∵|x|≤，∴－≤2x+≤.

∴2x+=－，即x=－.

(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.又|m|＜，∴m=－，n=1.

6.已知A(2，3)，B(－1，5)，且满足=，=3，=－，求C、D、E的坐标.

解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C(1，)，D(－7，9)，E(，).

培养能力

5.已知向量=(3，1)，=(－1，2)，⊥，∥.试求满足+=的的坐标.

解：设=(x，y)，则=(x，y)+(3，1)=(x+3，y+1)，

=－=(x+3，y+1)－(－1，2)=(x+4，y－1)，

则

所以=(11，6).

4.把函数y=2x²－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x²的图象，且a⊥b，c=(1，－1)，b·c=4，则b=____________.

解析：a=(0，0)－(1，3)=(－1，－3).设b=(x，y)，由题意得

则b=(3，－1).

答案：(3，－1)

3.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x²+1上的动点，定点A(0，－1)，若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.

解析：设P(x₀，y₀)，M(x，y).

代入y₀=2x₀²+1得3y+2=18x²+1，即18x²=3y+1，x²=y+=(y+)，∴p=，焦点坐标为(0，－).

答案：x²=(y+)　 (0，－)