2.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角为

A.arccos　　　　　　　　 B.arccos　　　　　　　 C.arccos 　　　　　　　　　 D.arccos

解法一：∵= +， = +，∴·=( +

)·(+)=·= .

而||====.

同理，||=.如令α为所求之角，则

cosα===，

∴α=arccos.

解法二：建立如下图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，).

∴=(1，，1)－(1，0，0)=(0，，1)，

=(1，1，)－(0，1，0)=(1，0，).

故·=0×1+×0+1×=，

||== ，||==.∴cosα==

=.∴α=arccos.

答案：D

1.设OABC是四面体，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上一点，且OG=3GG₁，若 =

x+y+z，则(x，y，z)为

A.(，，)　　 B.(，，)　　　 C.(，，)　　　 D.(，，)

解析：∵= = ( +)=+ ·［(+)］=+ ［(－)+(－)］=+ + ，而=x+y+z，∴x=，y=，z=.

答案：A

5.已知点A(1，2，1)、B(－1，3，4)、D(1，1，1)，若=2，则| |的值是__________.

解析：设点P(x，y，z)，则由=2，得(x－1，y－2，z－1)=2(－1－x，3－y，4－z)，即则||==.

答案：

●典例剖析

[例1] 已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的单位法向量.

即∴n=(，－1，1)，单位法向量n0=±=±(，－，).

2x+2y+1=0，

4x+5y+3=0，　　　　　　　

特别提示

一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.

[例2] 在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

(1)求证：SC⊥BC；

(2)求SC与AB所成角的余弦值.

解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B(0，，0)、S(0，0，2)、C(2，，0)， =(2，，－2)，=(－2，，0).

(1)∵·=0，∴SC⊥BC.

(2)设SC与AB所成的角为α，∵=(0，，0)，·=4，||| |=4，

∴cosα=，即为所求.

解法二：(1)∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC.

(2)如下图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求.

特别提示

本题(1)采用的是“定量”与“定性”两种证法.题(2)的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形.

[例3] 如下图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

(1)求的长；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M.

(1)解：依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴｜｜==.

(2)解：A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2)，

∴=(1，－1，2)，=(0，1，2)，·=3，｜｜=，｜｜=.

∴cos〈，〉==.

(3)证明：C₁(0，0，2)，M(，，2)，

=(－1，1，－2)，=(，，0)，∴·=0，∴A₁B⊥C₁M.

深化拓展

根据本题条件，还可以求直线AC₁与平面A₁ABB₁所成的角.(答案是arcsin)　　　　

[例4] 如下图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明面AED⊥面A₁D₁F.

解：取D为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A(2，0，0)、A₁(2，0，2)、D₁(0，0，2)、E(2，2，1)、F(0，1，0).

(1)∵· =(2，0，0)·(0，1，－2)=0，∴AD⊥D₁F.

(2)∵·=(0，2，1)·(0，1，－2)=0，

∴AE⊥D₁F，即AE与D₁F成90°角.

(3)∵·=(2，2，1)·(0，1，－2)=0，

∴DE⊥D₁F.∵AE⊥D₁F，∴D₁F⊥面AED.

∵D₁F面A₁D₁F，∴面AED⊥面A₁D₁F.

思考讨论

本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点.

●闯关训练

夯实基础

4.已知空间三点A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是_________.

解析：=(－2，－1，3)，=(－1，3，－2)，

cos〈，〉=

==－，∴θ=〈，〉=120°.

答案：120°

3.已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka+b与2a－b互相垂直，则k值是

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：ka+b=k(1，1，0)+(－1，0，2)=(k－1，k，2)，2a－b=2(1，1，0)－

(－1，0，2)=(3，2，－2).∵两向量垂直，∴3(k－1)+2k－2×2=0.∴k=.

答案：D

2.在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，下列叙述中正确的个数是

①点P关于x轴对称点的坐标是P₁(x，－y，z)　 ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P₂(x，－y，－z)　 ③点P关于y轴对称点的坐标是P₃(x，－y，z)　 ④点P关于原点对称的点的坐标是P₄(－x，－y，－z)

A.3　　　 　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　 C.1　　　 　　　　　　　　　　 D.0

解析：P关于x轴的对称点为P₁(x，－y，－z)，关于yOz平面的对称点为P₂(－x，y，z)，关于y轴的对称点为P₃(－x，y，－z).故①②③错误.

答案：C

1.若a=(2x，1，3)，b=(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则

A.x=1，y=1　　　 　　　　　　　 B.x=，y=－　　　　　 C.x=，y=－　　　　　 D.x=－，y=

解析：∵a=(2x，1，3)与b=(1，－2y，9)共线，故有==.

∴x=，y=－.应选C.

答案：C

4.对非零向量a与b，有

a∥b a=kb；a⊥b a·b=0.

●点击双基

3.设M₁(x₁，y₁，z₁)，M₂(x₂，y₂，z₂)，

则|M₁M₂|=.

2.设a=(x₁，y₁，z₁)，b=(x₂，y₂，z₂)，

那么a±b=(x₁±x₂，y₁±y₂，z₁±z₂)，

a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂，

cos〈a，b〉=.