1.二元一次不等式表示平面区域

在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x₀，y₀).

B＞0时，①Ax₀+By₀+C＞0，则点P(x₀，y₀)在直线的上方；②Ax₀+By₀+C＜0，则点P(x₀，y₀)在直线的下方.

对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.

当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.

7.4　 简单的线性规划

●知识梳理

3.对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想--代入法来求解.

拓展题例

[例1] 已知两点A(2，3)、B(4，1)，直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.

(1)使|PA|+|PB|最小；

(2)使|PA|－|PB|最大.

解：(1)可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A₁的坐标为(x₁，y₁).

·(－)=－1.

y₁=－.

由两点式求得直线A₁B的方程为y=(x－4)+1，直线A₁B与l的交点可求得为P(，－).

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

(2)由两点式求得直线AB的方程为y－1=－(x－4)，即x+y－5=0.

直线AB与l的交点可求得为P(8，－3)，它使|PA|－|PB|最大.

[例2] 直线l经过点(1，1)，若抛物线y²=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.

解法一：设直线l的方程为y－1=k(x－1)，弦的两个端点分别是A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，代入抛物线方程并作差得(y₁+y₂)(y₁－y₂)=x₁－x₂.

∵k_AB==－，

∴y₁+y₂=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k(x－1)上，∴x₁+x₂=1－.

∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1－.

由y₁²+y₂²>，得1－><0－2<k<0.

－1=k(－1)

　 y₁+y₂=－k，

y₁y₂=+－，

∴y₁、y₂是方程y²+ky++－=0的两根.

由Δ=k²－4(+－)>0

<0

－2<k<0.

2.许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等.

1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.

3.本章的内容是解析几何最基本的概念、公式和法则，这些内容的综合应用是高考中经常考查的内容.

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教学点睛

2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法.

1.对称问题分为点对称及轴对称.点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决.特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线x±y=0对称都要熟练掌握.

9.(2003年新课程，理10)已知长方形的四个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄(入射角等于反射角).设P₄的坐标为(x₄，0).若1<x₄<2，求tanθ的取值范围.

解：设P₁B=x，∠P₁P₀B=θ，则CP₁=1－x，

∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均为θ，∴tanθ==x.

又tanθ===x，

∴CP₂==－1.

而tanθ====x，

∴DP₃=x(3－)=3x－1.

又tanθ====x，

∴AP₄==－3.

依题设1<AP₄<2，即1<－3<2，

∴4<<5，>>.

∴>tanθ>.

●思悟小结

8.(文)直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状.

解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A′在BC所在直线上，设A′点坐标为(x₁，y₁)，则x₁、y₁满足

=－，即x₁=－2y₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

=2·，即2x₁－y₁－10=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

解①②两式组成的方程组，得

x₁=4，

y₁=－2.

∴BC所在直线方程为=，

即3x+y－10=0.

y=2x，　　　　 y=4.

∴所求C点坐标为(2，4).

由题意|AB|²=50，|AC|²=40，|BC|²=10，

∴△ABC为直角三角形.

(理)若抛物线y=ax²－1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求实数a的取值范围.

解：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)是抛物线上关于直线x+y=0对称的两点，则AB的方程可设为y=x+b.

y=ax²－1，

得ax²－x－b－1=0，

可知Δ=1+4a(b+1)>0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

又=，∴=－.

∴线段AB的中点M(，－).

∵M点在直线AB上，

∴－=+b，即b=－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将②代入①得1+4a(1－)>0.

∴a>.

探究创新