2.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.

1.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.

9.(2003年南京质量检测题)如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求证：点M为边BC的中点；

(2)求点C到平面AMC₁的距离.

(1)证明：∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM⊥C₁M且AM=C₁M.

∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴CC₁⊥底面ABC.

∴C₁M在底面内的射影为CM，AM⊥CM.

∵底面ABC为边长为a的正三角形，

∴点M为BC边的中点.

(2)解：过点C作CH⊥MC₁，

由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C₁CM.

∵CH⊥AM，∴CH⊥平面C₁AM，

由(1)知，AM=C₁M=a，CM=a且CC₁⊥BC.∴CC₁== a.

∴CH===a.

∴点C到平面AMC₁的距离为a.

●思悟小结

求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.

8.(2003年东城区一模题)如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都等于a，E是BB₁的中点.

(1)求直线C₁B与平面A₁ABB₁所成角的正弦值；

(2)求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；

(3)求点C₁到平面AEC的距离.

(1)解：取A₁B₁中点M，连结C₁M，BM.

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴C₁M⊥A₁B₁，C₁M⊥BB₁.

∴C₁M⊥平面A₁ABB₁.

∴∠C₁BM为直线C₁B与平面A₁ABB₁所成的角.

在Rt△BMC₁中，C₁M=a，BC₁=a，

∴sin∠C₁BM==.

(2)证明：取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，连结B₁D₁、EF、D₁F.则有D₁FAA₁，B₁EAA₁.

∴D₁FB₁E.

则四边形D₁FEB₁是平行四边形，

∴EFB₁D₁.

由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴B₁D₁⊥A₁C₁.

又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁，且B₁D₁平面A₁B₁C₁，∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁.

∴EF⊥平面ACC₁A₁.

∵EF平面AEC₁，则平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)由(2)知，EF⊥平面AC₁，则EF是三棱锥E-ACC₁的高.

由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC₁=a，AC₁=a.

∴EF==a.

∵V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C₁到平面AEC的距离.

则S·h=S·EF，

即×a²h=×a²·a.

∴h=a，即点C₁到平面AEC的距离是a.

探究创新

7.已知直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离.

解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形.

∴AB∥CE.

∴AB∥平面CDE.

则AB与CD的距离即为B到DE的距离.

过B作BF⊥DE于F，易求BF=a.

解法二：建系如图，

则A(0，0，b)，C(－a，a，a)，D(a，0，0)，

设AB与CD的公垂线的一个方向向量n=(x，y，z)，

利用n·=0，n·=0，

求出n，则d==a.

6.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，E、F分别是棱A₁B₁、CD的中点.

(1)证明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁.

(2)求点B到截面C₁EAF的距离.

(1)证明：连结EF、AC₁和BC₁，易知四边形EB₁CF是平行四边形，从而EF∥B₁C，直线B₁C⊥BC₁且B₁C⊥AB，则直线B₁C⊥平面ABC₁，得EF⊥平面ABC₁.而EF平面C₁EAF，得平面C₁EAF⊥平面ABC₁.

(2)解：在平面ABC₁内，过B作BH，使BH⊥AC₁，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C₁EAF的距离，在直角三角形中，BH===.

培养能力

5.ABCD是正方形，边长为7 cm，MN∥AB且交BC于点M，交DA于点N，若AN=3 cm，沿MN把正方形折成如图所示的二面角A-MN-D，大小为60°，求图中异面直线MN与BD间的距离.

解：由题意易证MN∥平面ABD，MN与BD的距离可转化为点N到平面ABD的距离，作NE⊥AD，易证NE⊥平面ABD，故可求NE=.

4.(B)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线DA₁与AC间的距离为__________.

解析：设n=λ+μ+是A₁D和AC的公垂线段上的向量，则n·=(λ+μ+)·(－)=μ－1=0，∴μ=1.

又n·=(λ+μ+)·(+)=λ+μ=0，∴λ=－1.

∴n=－++.故所求距离为

d==|AA₁·|== .

答案：

3.已知l₁、l₂是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l₁、l₂分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l₁与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________.

解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6.由面面平行的性质定理可得=，∴=，即=.∴DE=2.5.

答案：6　 2.5

2.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是CC₁的中点，则E到A₁B的距离是

A. a　　　　　　　　　　　 B. a　　　　　　　　　　　 C. a　　　　　　　　　　　 D. a

解析：连结A₁E、BE，过E作EH⊥A₁B于H，

在△A₁BE中易求EH=a.

答案：D