10.若曲线y=x²-1与y=1-x³在x=x₀处的切线互相垂直,则x₀等于(　 )

A.　　　　　 B.-　　　　　 C.　　　　　 D.或0

分析 本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于-1.

解 因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′=2x,y′=-3x²,

所以(2x)·(-3x²)=-1,

即x=.

答案 A

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

9.★设函数f(x)=1-e^x的图象与x轴相交于点P,则曲线在点P处的切线的方程为(　 )

A.y=-x　　　 　B.y=x　　　 C.y=ex　　　　　 D.y=-ex

分析 本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.

解 令1-e^x=0,得x=0,∴P(0,0).

∵f(x)=1-e^x,∴f′(x)=-e^x.

∴f′(x)|_x=0=-e⁰=-1.

∴过点P(0,0),斜率为-1的直线方程是y=-x.

答案 A

8.函数y=sin2x在点M()处的切线斜率为(　 )

A.-1　　　　 B.-2　　　　　 C.1　　　　 D.2

分析 本题主要考查复合函数的导数及导数的几何意义.

解∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,

∴=2cos(2×)=1.

答案 C

7.设f(x)=(x≠-1),则f′(x)等于(　　 )

A.3x²-2x+1　　　　　　　　 B.3x²+2x+1

C.3x²-2x-1　　　　　　　　 D.x²-2x+1

分析 本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式求导,这样可减少运算量.

解法一 f′(x)=

=

=

=

=3x²-2x-1.

解法二 ∵f(x)==(x+1)(x-1)²=x³-x²-x+1,

∴f′(x)=3x²-2x-1.

答案 C

6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′｜_x=2等于(　 )

A.-3　　　　　 B.-1　　　　　 C.3　　 　　　D.1

分析 本题主要考查导数的几何意义,即函数y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线的斜率是y=f′(x₀).

解 ∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x-y-2=0的斜率,∴y′|_x=2=3.

答案 C

5.函数y=xcosx-sinx的导数为(　　 )

A.xsinx　　　　　　　 B.-xsinx　　　　　　　 C.xcosx　　　　　　 D.-xcosx

分析 本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差.

解 y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

答案 B

4.★一个距地心距离为r,质量为m的人造卫星,与地球之间的万有引力F由公式F=给出,其中M为地球质量,G为常量.则F对于r的瞬时变化率是(　 )

A.　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　 D.

分析 本题考查常见函数的导数.

解法一 ∵F==,

∴F′=-2GMmr^-3=-.

解法二 ∵F=,

∴F′=

答案 D

3.设函数f(x)在点x₀附近有定义,且有f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b为常数),则(　　 )

A.f′(x)=a　　　　　　　 B.f′(x)=b

C.f′(x₀)=a　　　　　　　 D.f′(x₀)=b

分析 本题主要考查导数的概念.

解 ∵f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b为常数),

∴f′(x₀)=

=(a+bΔx)=a.

答案 C

2.若曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程为2x+y+1=0,则(　 )

A.f′(x₀)>0　　　　　 B.f′(x₀)=0

C.f′(x₀)<0　　　　　 D.f′(x₀)不存在

分析 本题考查导数的几何意义.曲线在点x=x₀处的导数,即为切线的斜率.

解 切线的方程为2x+y+1=0,即y=-2x-1,

斜率为-2,故曲线在x=x₀处的导数为-2,

即f′(x₀)=-2<0.

答案 C

1.已知函数y=f(x)=x²+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　 )

A.0.40　　　　 B.0.41　　　　　 C.0.43　　　　　 D.0.44

分析 本题主要考查如何求函数的增量.

解 由函数值的增量公式Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀),

得Δy=f(2+0.1)-f(2)=(2+0.1)²+1-(2²+1)=0.41.

答案 B