13.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:

①他第3次击中目标的概率是0.9;

②他恰好击中目标3次的概率是0.9³×0.1;

③他至少击中目标1次的概率是1-0.1⁴.

其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).

分析 本题主要考查相互独立事件的概率等基础知识.解题的关键是正确使用相互独立事件的概率公式.

解 ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第3次击中目标的概率是0.9.正确.

②恰好3次击中目标的概率应为×0.9³×0.1.

③4次射击都未击中目标的概率为0.1⁴,所以至少击中1次目标的概率为1-0.1⁴.

答案 ①③

12.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概率分布为:

分析 本题考查离散型随机变量的分布列及等可能事件的概率计算问题.

解 由等可能事件的概率计算公式可知:

P(ξ=0)= =,

P(ξ=1)= =，

P(ξ=2)= =.

答案

ξ	0	1	2
P

11.若离散型随机变量ξ的分布列为

　则常数c的值为　　　　　　　　 .

分析　 考查离散型随机变量分布列的两个性质.

由0≤P(ξ=0)≤1,0≤P(ξ=1)≤1及P(ξ=0)+P(ξ=1)=1,即可求出c的值.

解 由离散型随机变量分布列的性质,知

9c²-c+3-8c=1且0≤9c²-c≤1,0≤3-8c≤1,

解得常数c=.

答案

10.一射手对靶射击,直到第一次击中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后尚余子弹数目ξ的数学期望为……………………………………(　 )

A.2.44　　　　　　　 B.2.386　　　　　　　 C.2.376　　　　　　　 D.2.4

分析 本题主要考查离散型随机变量分布列以及数学期望的求法.解答本题要注意不要忽略ξ=0的情况.“ξ=0”的含义说明前3次一定没有命中,但第4次有可能命中,也有可能没有命中.

解

∴Eξ=0×0.4³+1×0.4²×0.6+2×0.4×0.6+3×0.6=2.376.

答案 C

第Ⅱ卷(非选择题 共60分)

9.设ξ~B(n,p)且Eξ=15,Dξ=,则n、p的值分别是……………………(　 )

A.50,　　　　　　　 B.60,　　　　　　　 C.50,　　　　　　 D.60,

分析 本题考查二项分布的期望与方差.

解 由题意,得　 解得

答案 B

8.★随机变量ξ的分布规律为P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(＜ξ＜)的值为………………………………………………(　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D.

分析 本题考查离散型随机变量分布列的性质及互斥事件和的概率计算.

解 由题意可知

,可得a=.

P(＜ξ＜)=P(ξ=1)+P(ξ=2)= ==×=.

答案 D

7.若ξ~B(5,0.1),那么P(ξ≤2)等于………………………………(　 )

A.0.072 9　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.0.008 56

C.0.918 54　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0.991 44

分析 本题考查二项分布中互斥事件和的概率.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

解 P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)

=·(0.1)^k·(0.9)^5-k

=(0.9)⁵+5·(0.1)·(0.9)⁴+·(0.1)²·(0.9)³

=0.590 49+0.328 05+0.072 9=0.991 44.

答案 D

6.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为………………………………(　 )

A. 　　　　　　　　　　B.()³×

C. ×　　　　　　　　　　 D.×()³×

分析 本题中,每次随机取出一个球是等可能性事件,取出的是黑球或白球应用的是等可能性事件的概率公式.由于放回取球使得各次取球之间取得黑球或白球的概率互不影响,因而各次取球才构成相互独立事件,才可以利用相互独立事件同时发生的概率计算公式.

解 由题意,第4次取球后停止的事件应是前3次取出的均是黑球,第4次取出的是白球.因为取出黑球后要放回箱中重新取球,故前3次每次取出黑球的概率都是=.第4次取出白球的概率是=,4次取球是相互独立事件,彼此概率不受影响,利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得“在第4次取球之后停止的概率”为×××=()³×().

答案 B

5.设某批电子管正品率为,次品率为,现对这批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)等于……………………………………………………(　 )

A.()²×　　　　　　　　　　　　　 B.()²×

C.()²×　　　　　　　　　　　　　 D.()²×

分析 本题考查离散型随机变量的几何分布.

解 根据相互独立事件的概率计算公式,有P(ξ=3)= ××=()²×.

答案 B

4.已知ξ的分布列为

且设η=2ξ+1,则η的数学期望Eη的值是………………………………(　 )

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C.1　　　　　　　　　　 D.

分析 本题考查期望的计算公式,E(aξ+b)=aEξ+b.

解 因为Eξ=-1×+0×+1×=,

所以Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×()+1=.

答案 B