7.已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=,ξ的分布列如下:

则a的值为 (　　 )

A.0　　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解析 由题意可知

解得a=.

答案 C

6.★某人从湖中打了一网鱼,共m条,做上记号,再放入湖中,数日后又打了一网鱼,共n条,其中k条有记号,估计湖中有鱼　　　　 条.(　　 )

A.　　　　　　　 B.m·　　　 　　　　　C.m·　　　　　　　 D.无法估计

分析 本题考查用样本的频率分布估计总体的分布.

解 设估计湖中有x条鱼.

由题意可知=,所以x=,

即估计湖中有条鱼.

ξ	0	1	2	3
P	a			b

答案 B

5.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为(　　 )

A.0.008 1　　　　　 B.0.072 9　　　　　　　 C.0.052 5　　　　　　　 D.0.009 2

分析 本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.

解 对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1=0.9.

根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)³(0.9)²=0.008 1.

答案 A

4.★利用随机抽样从含有12个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，设个体a被抽到的概率为P₁,个体a没有在第二次被抽到的概率为P₂,则P₁与P₂的大小关系是(　 )

A.P₁＞P₂　　　　　 B.P₁=P₂　　　　　　　 C.P₁＜P₂　　　　　　　 D.不确定

解析 由简单随机抽样的定义可知，个体a被抽到的概率是P₁==.

由等可能性事件的概率可知，个体a第二次未被抽到的概率是

P₂=.

∴P₁＞P₂.

答案 A

3.某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.02.若发病的牛数为ξ,则Dξ等于(　 )

A.0.2　　　　　　　 B.0.196　　　　　　　 C.0.8　　　　　　　　 D.0.812

分析 本题考查随机变量ξ服从二项分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1-p).

解 由题意可知,发病的牛数ξ服从二项分布,

即Dξ=npq=10×0.02×(1-0.02)=0.196.

答案 B

2.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为(　 )

A.640　　　　　　　 B.320　　　　　　　　 C.240　　　　　　　　　 D.160

分析 本题考查随机抽样的概率，即从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每一个体被抽到的概率都是

解 由题意，得=0.125.∴n=320.

答案 B

1.★设ξ是离散型随机变量,则下列不能够成为ξ的概率分布的一组数是(　 )

A.0,0,0,1,0

B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1-p(其中p是实数)

D. (其中n是正整数)

分析 题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…;

(2)P₁+P₂+…=1.

解 对于A,由于0+0+0+1+0=1,且每个数都大于或等于0,所以这组数可以作为ξ的一种概率分布；

对于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每个数都大于0,所以这组数可以作为ξ的一种概率分布；

对于C,虽然p+1-p=1,但是不能保证对任意实数p和1-p都是非负数(比如取p=-1),所以这组数不能够作为ξ的概率分布；

对于D,由于

且每个数都是非负数,所以这组数也可作为ξ的一种概率分布.

答案 C

19.(本小题满分10分)某5名学生的数学和化学成绩如下表:

学生 学科	A	B	C	D	E
数学成绩(x)	88	76	73	66	63
化学成绩(y)	78	65	71	64	61

(1)画出散点图;

(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程.

分析 本题考查如何求回归直线的方程.分清自变量与因变量是正确解题的关键.

解 (1)

　　　　 3分

(2)

5分

　　 9分

所以y对x的回归直线方程为=0.62x+22.06.　　　　 10分

18.(本小题满分10分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为,遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求:

(1)ξ的概率的分布列及期望Eξ;

(2)停车时最多已通过3个路口的概率.

分析 本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值以及取每一个值的概率是解决本题的关键.

解 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.

用A_k表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”,

则P(A_k)=(k=1,2,3,4),且A₁,A₂,A₃,A₄独立.

故P(ξ=0)=P()=,　　 2分

P(ξ=1)=P(A₁·)=×=,

P(ξ=2)=P(A₁·A₂·)=()²×=,

P(ξ=3)=P(A₁·A₂·A₃·)=()³×=,

P(ξ=4)=P(A₁·A₂·A₃·A₄)=()⁴=.　　　 5分

从而ξ有分布列

ξ	0	1	2	3	4
P

6分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.　　 8分

(2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-=.

答:停车时最多已通过3个路口的概率为.　　　　　　 10分

16.(本小题满分8分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p₁,非意外死亡的概率为p₂,则保险费a需满足什么条件,保险公司才可能盈利？

分析 本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用.

要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望.

解 设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a,a-30 000,a-10 000.　　 2分

且P(ξ=a)=1-p₁-p₂,

P(ξ=a-30 000)=p₁,

P(ξ=a-10 000)=p₂.　　 5分

随机变量ξ的概率分布列为

6分

Eξ=a(1-p₁-p₂)+(a-30 000)p₁+(a-10 000)p₂

=a-30 000p1-10 000p2.

保险公司要盈利,必须使Eξ＞0.于是a＞30 000p1+10 000p2.8分

[]17(本小题满分8分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如右图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6.

请结合直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)样本的容量是多少？

(2)列出频率分布表；

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；

(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分率.

分析 当样本中的个体取不同的值较多时，通常用频率分布直方图的面积来表示各个区间内取值的概率，所有小矩形的面积之和等于1.

解 (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为,,,,.设样本容量为n,则=,所以样本容量n=48.　　　　　　　　　　　　 　　

2分

(2)

成绩	频数	频率
50.5~60.5	3
60.5~70.5	9
70.5~80.5	18
80.5~90.5	12
90.5~100.5	6
合计	48	1

5分

(3)成绩落在70.5~80.5之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和.　　 6分

(4)不低于60分的学生占总人数的百分率为1-≈94%.　　　　 8分