11.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　 .

解析 因为自变量取n时,不等式的左边为n项和的形式,所以当n=k+1时应为k+1项的和,它们是,右边只需把n=k+1代入即可,它们是,故应推证的不等式是

答案

10. 则a的取值范围是(　　 )

A.a=1　　　　　　　　　　　　 B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜　　　　　　　　　　 D.a＜-或a＞1

分析 本题考查极限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的范围,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本题可利用特殊值代入法,当a=1时成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

9.★用数学归纳法证明命题“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(　　)

A.(k+3)³　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本题考查用数学归纳法证明整除性问题.只需把n=k+1时的情况拼凑成一部分为假设的形式,另一部分为除数的倍数形式即可.

解　当n=k+1时,被除数为(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展开(k+3)³即可.

答案　A

8.★欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2_n>n³,n₀为验证的第一个值,则(　　 )

A.n₀=1

B.n₀为大于1小于10的某个整数

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本题考查用数学归纳法证明问题时,第一步初始值n₀的确定.不能认为初始值都从n₀=1开始,需根据实际题目而定.当1≤n＜10时,2ⁿ与n³的大小不确定,而当n≥10时,总有2ⁿ>n³.

答案 C

7.★已知数列{a_n}是由正数组成的数列,a₁=3,且满足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且为整数,c>2,则等于(　　 )

A.-1　　　　　 B.1　　　　 C.　　　　 D.

分析 本题考查数列的极限及运算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1·c,=c,

即数列{a_n}是首项为a₁=3,公比为c的等比数列,a_n=3·c^n-1(c>2),

答案 A

6.等于(　 )

A.0　　　　　　 B.-1　　　　　　 C.1　　　　　　　 D.不存在

分析 本题考查函数f(x)的极限.若把x=-1代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求解.

解 =

==

=

答案 B

5.★若,则a的值为(　 )

A.0　　　　　　　 B.1　　　　　　　 C.-1　　　　　　　 D.

分析 本题考查当x→x₀时函数的极限.

解 ∵存在，而把x=2代入分母时，分母为零，

∴分子、分母应有(x-2)这一公因式，化简以后，再求极限.

∴分子x²+ax-2可分解成(x-2)(x+1)，

即x²+ax-2=(x-2)(x+1)=x²-x-2.

∴a=-1.

答案 C

4.数列1,,,,…,…的前n项和为S_n,则等于(　　 )

A.0　　　　　　 B.　　　　　　 C.1　　　　　 　　D.2

分析 本题考查数列极限的求法.要求数列{a_n}的前n项和,应首先确定它的通项公式.

解 ∵a_n==

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2(1-+-+…+-)=.

∴S_n=.

答案 D

3.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=··

(α≠kπ,n∈N*),验证n=1等式成立时,左边计算所得的项是(　　 )

A.　　　　　　　　　　 　B.+cosα

C.+cosα+cos3α　　　　　 　D.+cosα+cos3α+cos5α

分析　分清等式左边的构成情况是解决此题的关键;对于本题也可把n=1代入右边化简得出左边.

解法一　因为等式的左边是(n+1)项的形式,故n=1时,应保留两项,它们是+cosα.

解法二　当n=1时,右边=sincos=·(sin2α+sinα)= (sinαcosα+sinα)=+cosα.

答案　B

2.设,若f(x)存在,则常数b的值是(　　 )

A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.-1　　　　 D.e

分析 本题考查f(x)=a的充要条件：

f(x)=f(x)=a.

解 ∵(2x+b)=b,e^x=1,

又条件f(x)存在,∴b=1.

答案 B