17.(本小题满分8分)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.

分析 本题考查等比数列前n项和的极限.

解 设正方形BD₁C₁B₁、D₁D₂C₂B₂、…的边长分别为a₁,a₂,….

∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.

由相似三角形的知识可得,

∴a₁=.同理,可得a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴{a_n}是以为首项,以为公比的等比数列.　 3分

设{S_n}是第n个正方形的面积,则S_n是以为首项, 为公比的等比数列.　 4分

∴(S₁+S₂+…+S_n)=

即所有这些正方形面积之和为.　　　　　 8分

16.(本小题满分8分)已知数列{a_n}中,a_n=S_n为其前n项的和,求的值.

分析 由于中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式,转化为有限项的极限问题.

而是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.

解

∴　　　　 8分

15.(本小题满分8分)讨论函数在x=2处的左极限、右极限以及在x=2处的极限.

分析 本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系.

对于常见函数,可先画出它的图象,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限.

解 当x→2^-时,函数无限接近于0,

即　　　 3分

当x→2⁺时,函数无限接近于2,

即

综上,可知≠,　　 6分

∴函数f(x)在x=2处极限不存在.　　　 8分

14.　　　　　　 .

分析 本题考查qⁿ=0,|q|＜1的应用.因为当n→∞时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、分母同时除以底数最大、次数较高的项3ⁿ,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解.

解

答案

13.★一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球最多能上升　　　　　 　　米.

解析 由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,…,上升的高度组成首项为25,公比为的等比数列,它上升的最大高度S=S_n=

答案 125

12.　　　　　　 .

分析 本题考查当x→x₀时函数的极限.若把x=1代入分子、分母中,分式变成“”型,不能直接求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求极限.

解

答案

11.　　　　　 .

分析 当n无限增大时, 的分子中含无限多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.

解 原式=

答案 1

10.(2x+1)ⁿ=0成立的实数x的范围是(　 )

A.x=-　　　　　　 B.-＜x＜0

C.-1＜x＜0　　　　　 D.-1＜x≤0

分析本题考查数列的一个重要极限,即limn→∞an=0时,有|a|＜1.

解 要使(2x+1)ⁿ=0,只需|2x+1|＜1,即-1＜2x+1＜1.解得-1＜x＜0.

答案 C

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

9.★已知一个数列的通项公式为f(n),n∈N*,若7f(n)=f(n-1)(n≥2)且f(1)=3,则［f(1)+f(2)+…+f(n)］等于(　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.-7　　　　　　 D.-

分析 本题考查当n→∞时数列的极限.关键是先求出数列的通项公式f(n),然后求其前n项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于n的多项式,再求极限.

解 ∵f(1)=3≠0,∴

∴数列为首项为3,公比为的等比数列.

∴f(n)=3·()^n-1.

由公比不为1的等比数列的前n项和公式,得

S_n=

∴

答案 A

7.函数f(x)= 的不连续点是(　 )

A.x=2　　　　　　　　　　　　 B.x=-2

C.x=2和x=-2　　　　　　　　　 D.x=4

分析 本题考查函数的连续性.一般地,函数f(x)在点x=x₀处连续必须满足下面三个条件：

(1)函数f(x)在点x=x₀处有定义；

(2)存在；

(3),即函数f(x)在点x₀处的极限值等于这一点的函数值.

解 因函数在x=±2时无定义,所以不连续点是x=±2.

答案 C

8等于(　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.　 　　　　　　D.1

分析 由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.

解 ∵

∴原式=

答案 B