19．湖北省部分重点中学2005年春季期中联考

如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，　

　　 PA＝AD＝a，AB＝a，E是线段PD上的点，F是线段AB

　　 上的点，且．

　　 (I)当时，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值：

(Ⅱ)是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为

60°?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明

理由．

5．(1)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.　 3分

　　　　 又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　　 ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)由(Ⅰ)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.　 8分　　 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴　 10分

由AB²=AE·AC 得　　　

故当时，平面BEF⊥平面ACD.　　　 12分

5．[2005年高考重庆地区信息试卷数学试题]

　　　 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

　 (Ⅰ)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

　 　 (Ⅱ)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

4．[北 京 四 中2005年数学第一次统测(理科)] 　如图，分别是正方体的棱上的点. 　(1)若，求证：无论点在上如何移动，总有； 　(2)若，且平面，求二面角的大小. 　4.(I)证法一：连AC、BD，则BD⊥AC， 　∵， ∴MN//AC，∴BD⊥MN. 　又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN， 　∴MN⊥平面BDD1. 　∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1， 　故总有MN⊥BP. 　证法二：连结AC、BD，则AC⊥BD. 　∵， ∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD， 　由三垂线定理得：MN⊥PB. 　(II)解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1， 　∵PB⊥平面B1MN， ∴PB⊥B1N. 　又∵PG⊥平面B1BCC1， ∴ BG⊥B1N，∴ΔBB1N≌ΔBCG， ∴ BN=CG，NC=GC1， 　∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1. 　同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1. 　设AB=3a, 则BN=2a, ∴, 　, 　连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1， ∴ MO1⊥B1N， 　∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角， 　，∴ . 　解法二：设BD与MN相交于F，连结B1F， 　∵PB⊥平面MNB1， ∴ PB⊥B1F，PB⊥MN， 　∴在对角面BB1D1D内，ΔPBD∽ΔBB1F， 　设BB1=DD1=3，则PD=2，，∴， 即，故. 　∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2， 　. 　设二面角B-B1N-M的平面角为α，则， 　.

3．解：(1)当　 (1分)

证明：取PD中点E，则EF//CD，且

∴四边形ABFE为平行四边形.　 (3分)

∴BF//AE. 又AE平面PAD　 ∴BF//平面PAD　 (4分)

(2)平面ABCD，即是二面角的平

面角　 (5分)

为等腰直角三角形，

平面PCD　 又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B-PC-D的大小为90°.　 (8分)

(3)在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　 (9分)

在，

在代入得：

即点E到平面PBC的距离为　 (11分)

又点A到平面PBC的距离为(12分)

3．[哈尔滨三中东北育才大连育明 天津耀华2005年四校高考模拟联考]

如图已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.

(I)点F在线段PC上运动，且设为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；

(Ⅱ)二面角F-CD-B为45°，求二面角B-PC-D的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

2. 解：(1)取

　　 …………3分

　　 (2)取

　　 的距离，由，则B到面的距离为K到面的距离的2倍　　 …………9分

　　 另法一：利用体积相等，

　　 另法二：可利用面

2.[哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2005年高三第二次联合考试数学试卷(理科)]

　　 已知直三棱柱中，，AB=BC=a，，M为上的点。

　　 (1)当M在上的什么位置时，与平面所成的角为；

　　 (2)在(1)的条件下求B到平面的距离。

1.解：(I)

　　 异面直线AD、BC所成角为。　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　 (II)过点P作于E，过点E作于F，连结PF。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　 。

　　 设，则在中，，

　　 在中，

　　 在中，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

即P、B两点间距离为时，与所在平面成角。　 12分

1.[2005年山东省临沂市数学模拟试题(文史类)]

　　 如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，

　　 (I)求异面直线AD、BC所成的角。

　　 (II)设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时？与所在平面成角；